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738 Capítulo 38 La física moderna y el átomo
Por la forma como está escrita la ecuación, es fácil observar que una masa muy pequeña
corresponde a una enorme cantidad de energía. Por ejemplo, un objeto cuya masa en reposo
m0 es de 1 kg tiene una energía en reposo E de 9 X 1016 J.
Un estudio más a fondo de la energía debe tener en cuenta los efectos de la relatividad.
La expresión para la energía total de una partícula de masa en reposo mg y cantidad de movimiento
p = mv se puede escribir como
E = V (/n0c2)2 + p2c2 (38.5)
Si ahora se sustituye mQen la ecuación (38.3), que indica la relación de la masa relativística,
la energía total se reduce a
E = me2 (38.6)
donde m representa la masa relativística. Ésta es la forma más general de expresar la energía
total de una partícula.
Observe que la ecuación (38.5) se reduce a E0 = m0c2 cuando la velocidad es cero y por
consiguiente p = 0. Más aún, si tomamos en cuenta velocidades considerablemente menores
que c, la ecuación se simplifica así
E = —m0v2 + m0c2 (38.7)
Ésta es la ecuación que se emplea con más frecuencia para expresar la energía cinética, con
la adición de un nuevo término para la energía en reposo.
La expresión más general para la energía cinética de una partícula debe tener en cuenta
los efectos de la relatividad. Conviene recordar que la energía cinética E a una rapidez v se
define como el trabajo que debe realizarse para acelerar una partícula desde el reposo hasta la
rapidez v. Por los métodos de cálculo es posible demostrar que la energía cinética relativística
de una partícula se obtiene mediante
Ek = (m - m0)c2 (38.8)
Esto representa la diferencia entre la energía total de una partícula y su energía de la masa en
reposo.
Un electrón es acelerado a una rapidez de 0.9c. Compare su energía cinética relativística
con el valor que tendría tomando como base la mecánica de Newton.
Pía n: En el ejemplo 38.3 se demostró que la masa relativística de un electrón a esta rapidez
sería de 20.9 X 10~31 kg. Como su masa en reposo es de 9.1 X 10~31 kg, es posible
utilizar estos valores para hallar la energía cinética relativística a partir de la ecuación
(38.8). Con fines de comparación con la energía cinética newtoniana, usaremos la masa
en reposo a una rapidez de 0.9c.
Solución: La energía cinética relativística es
Ek = (jn - m0)c2
= (20.9 X 10^31 kg - 9.1 X 1 0 '31 kg)(3 X 10s m/s)2
= (11.8 X 10^31kg)(9 X 1016m2/s2)
= 10.6 X 10"14J
El valor newtoniano se basa en K = 2moy2>donde v = 0.9c.
^mov2 = ^(9.1 X 10-31 kg)(0.9c)2
= (4.55 X 10"31 kg)(0.81c2)
= (4.55 X 10-31 kg)(0.81)(3 X 108m/s)2
= 3.32 X 10“ 14 J
La energía cinética relativística tiene un valor de más del triple de su valor newtoniano.