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234 Capítulo 11 Rotación de cuerpos rígidos
Los subíndices 0 y /s e refieren a los valores inicial y final de la energía potencial U, la energía
cinética rotacional K y la energía cinética trasnacional Kr El término “pérdidas” puede
establecerse como 0 si suponemos que el movimiento es sin fricción.
Ejemplo 11.11 i,. Un aro y un disco circular tienen cada uno una masa de 2 kg y un radio 10 cm. Se dejan
caer rodando desde el reposo a una altura de 20 m a la parte inferior de un plano inclinado,
como se muestra en la figura 11.11. Compare sus rapideces finales.
Plan: Como estamos interesados en hallar la rapidez v en la parte inferior del plano inclinado,
los parámetros rotacionales se convertirán en sus parámetros lineales correspondientes.
Por ejemplo, la inercia rotacional 1 de un aro es mR~ y la inercia rotacional I de un disco
es \m R 2. Además, la velocidad rotacional co es la razón v/R. La conservación de energía
exige que la suma de energía potencial, cinética y rotacional en la parte superior del plano
inclinado debe ser igual a la suma de estas energías en la parte inferior. De esta manera,
podemos aplicar primero la ecuación (11.16) para el aro y luego para el disco, suponiendo
pérdidas de fricción insignificantes para cada caso.
Solución: En cada caso, U = mgh; KR = 2 ynv~
energía sin pérdidas de la fricción da
(U0 + Kt o + Kr o) = (Uf + KTf + KRf)
1 1
mgh0 + 0 + 0 = —niVf + —Icof
Para el aro: I = mR2, así que al sustituir se obtiene
y K t = \lo r. La conservación de la
mgh() = -m v 2 + —(m í^)(
R*-
, 1 2 , 1 7
mgn0 = —mv + —mv
Al simplificar y resolver para v, obtenemos
9
Para el disco: I = —mR', y
2 J
V = V g h 0 = V (9.8m /s2)(20 m) v = 14.0 m/s
mgh0 = K n v2 + ^ i :
Esto puede resolverse para obtener
;gh o -(9.8 m /s')(20 m) o v = 16.2 m/s
Observe que aun cuando las masas y los radios son los mismos, el disco tiene una inercia
rotacional inferior que da como resultado una rapidez final mayor. Llegará primero a la
parte inferior que el anillo.
Figura 11.11