f_t_septima_edicion

38.6 Ondas y partículas 741
Puesto que sabemos que E = hc/k, podemos escribir
he
de donde se obtiene que la longitud de onda de un fotón está dada por
h
k = - (38.13)
P
De Broglie propuso que todos los objetos tienen longitudes de onda relacionados con su
cantidad de movimiento, independientemente de si los objetos presentan características de
onda o de partícula. Por ejemplo, la longitud de onda de un electrón o de cualquier partícula
se obtiene mediante la ecuación de de Broglie, y puede volverse a escribir como
h
A = — Loneitud de onda de de Broglie (38.14)
mv
Ejemplo 38.6
Jr ¿Cuál es la longitud de onda de de Broglie de un electrón que tiene una energía cinética
de 100 eV?
Pía n: Para determinar la longitud de onda de de Broglie de este electrón es preciso establecer
su masa y su velocidad. Es sabido que la masa de un electrón es 9.1 X 10~31 kg, en
tanto que su velocidad se halla a partir de su energía cinética. Hay que convertir 100 eV
a joules y luego aplicar la expresión newtoniana de la energía cinética. Si la velocidad es
razonable y no se aproxima a rapideces relativísticas, podemos usarla para determinar la
longitud de onda de de Broglie.
Solución: Si recordamos que 1 eV = 1.6 X 10-19 J podemos convertir fácilmente los 100
eV a joules.
( 1.6X10_19A
K = 100 eV ----------------- = 1.60 X 10-’7 J
V 1eV J
La energía cinética newtoniana es \m 0v2, de forma que la velocidad se obtiene como sigue:
K = - m 0v
En consecuencia, la velocidad del electrón es
2
V = 2 K
mn
v = 2(1.6 X 10"w J) = 3.52 X 1013 n r/s2
9.1 X 10"31kg
v = V 3.52 X 1013 n r/s2 = 5.93 X 106 m/s
Como la velocidad es mucho menor que 10% la velocidad de la luz, no es relativística
y se justifica la aplicación de la relación newtoniana de la energía. Ahora se calculará la
longitud de onda de de Broglie con la ecuación (38.14)
6.63 X 10 34 J • s
A = h mv (9.1 X 10~31 kg)(5.93 X 106 m/s)
= 1.23 X 10~10 m = 0.123 nm
A partir de la ecuación de de Broglie, observe que cuanto mayor es la velocidad de la
partícula, más corta es la longitud de onda. Recuerde que debe usarse la masa relativa si
la velocidad de una partícula es lo suficientemente grande para que se deba aplicar dicha
masa. En términos generales, si la velocidad de una partícula es mayor que 10% la velocidad
de la luz, han de considerarse valores relativísticos.