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222 Capítulo 11 Rotación de cuerpos rígidos
donde s es la longitud de arco de un círculo descrito por el ángulo 6. Puesto que el cociente s
entre R es la razón de dos distancias, el radián es una cantidad sin unidades.
El factor de conversión que permite relacionar radianes con grados se encuentra considerando
un arco de longitud 5 igual al perímetro o circunferencia de un círculo 2itR. Dicho
ángulo en radianes se obtiene a partir de la ecuación (11.1)
2itK
0 = — — = 2tt rad
Así tenemos,
de donde se observa que
1 rev = 360° = 2 it rad
360°
1 rad = ----- = 57.3°
2tt
Ejemplo 11.1
Un extremo de una cuerda se ata a una cubeta de agua y el otro extremo se enrolla muchas
veces alrededor de un carrete circular de 12 cm de radio. ¿Cuántas revoluciones del carrete
se requiere para levantar la cubeta a una distancia vertical de 5 m?
Plan: La distancia vertical de elevación debe ser igual a la longitud de la cuerda envuelta
alrededor del carrete de modo que la longitud de arco s = 5 m. Primero se calcula la rotación
en radianes necesarios para una longitud de arco de 5 m. Recuerde establecer el modo
de radianes en su calculadora (normalmente está en modo de grados). Más adelante una
conversión de este ángulo a revoluciones dará la respuesta buscada.
Solución: Apartir de la ecuación (11.1), obtenemos
s 5 m
6 = - = --- = 41.7 rad
R 0.12 m
Recordemos que 1 rev = 2 tt rad, se hace la conversión para hallar el ángulo en revoluciones.
, 1 rev ,
= 41.7 rad( i ------ 7 I = 6.63 rev
y2ir rady
Por tanto, aproximadamente seis revoluciones dos tercios levantarán la cubeta 5 m.
jf" Un asiento en el perímetro de una rueda de la fortuna en la feria experimenta un desplazamiento
angular de 37°. Si el radio de la rueda es 20 m, ¿qué longitud de arco describe
el asiento?
Pía n: Dado que el desplazamiento angular se definió en función de los radianes, los grados
deben convertirse a radianes. La longitud de arco puede entonces determinarse al
resolver la ecuación (11.1) para s.
9 = (37°)
277 rad
360°
= 0.646 rad
La longitud de arco está dada por
s = R6 = (20 m)(0.646 rad)
s = 12.9 m
La unidad radián desaparece porque representa una relación de longitud a longitud
(m/m = 1).