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14.6 Aceleración en el movimiento armónico simple 289 Solución (a): Sabemos que / = 0.5 Hz, A = 0.06 m y 9 = 90°. La velocidad máxima se determina sustituyendo estos datos en la ecuación (14.9). Recuerde que sen 90° = 1. Vmáx = -277/A sen90° = - 2 t t/A = -2 7 r(0 .5 H z)(0 .0 6 m ) = —0.188 m /s El signo negativo indica que la primera velocidad máxima es —18.8 cm /s en dirección izquierda. Si hubiéramos sustituido 270° para el ángulo 9, la velocidad máxima hubiera sido +18.8 cm /s hacia la derecha. Solución (b): En este caso se pide determinar la posición y la velocidad en un instante determinado: 5.2 s. Cuando el ángulo de referencia 6 se escribe como 2 v f t es indispensable recordar que los ángulos deben expresarse en radianes, no en grados. Cerciórese de que su calculadora está configurada para leer los ángulos en radianes. Como un pequeño error en la medida de éstos es importante, mejor asegúrese de no redondear sus datos hasta que haya alcanzado la respuesta final. El desplazamiento en t = 5.2 s se halla a partir de la ecuación (14.9) x = Acos(27rft) = (0.06 m) cos[2tt(0.5 Hz)(5.2 s)] = (0.06 m )co s(l6.34 rad) = (0.06 m )(-0.809) = —0.0485 m = —4.85 cm La velocidad se encuentra con la ecuación (14.11) usando el mismo ángulo, en radianes v = -2 irfA sen(16.34 rad) = —2ir(0.5 Hz)(0.06 m )(-0.588) = +0.111 m/s = +11.1 cm/s Cabe observar que la velocidad después de 5.2 s es positiva, lo que indica que la masa se mueve a la derecha en ese instante. Aceleración en el movimiento armónico simple La velocidad de un cuerpo que oscila jamás es constante. Por tanto, la aceleración tiene suma relevancia en las ecuaciones obtenidas para la posición y la velocidad en la sección anterior. Ya contamos con una expresión para predecir la aceleración en función de la distancia; ahora deduciremos la relación con el tiempo. En la posición de desplazamiento máximo (±A), la velocidad de una masa que oscila es igual a cero. Es en ese instante cuando la masa está sometida a la máxima, fuerza de restitución. Por consiguiente, su aceleración es máxima cuando su velocidad es cero. Cuando la masa se aproxima a su posición de equilibrio, la fuerza de restitución (y, por tanto, la aceleración) se reduce hasta llegar a cero en el centro de la oscilación. En la posición de equilibrio, la aceleración es igual a cero y la velocidad alcanza su valor máximo. Miremos el círculo de referencia de la figura 14.9, trazado para estudiar la aceleración a de una partícula que se mueve con movimiento armónico simple (MAS). Note que la aceleración centrípeta a de una masa que se mueve en un círculo de radio R = A se compara con la aceleración de su propia sombra. La aceleración a de la sombra representa el MAS y es igual a la componente horizontal de la aceleración centrípeta ac de la masa. Con base en la figura, a = —ac eos 9 = —ac eos cot (14.12) donde
290 Capítulo 14 Movimiento armónico simple Figura 1 4.9 Aceleración y el círculo de referencia. De nuestra explicación sobre la rotación y el movimiento circular recordemos que Si combinamos ambas relaciones se obtiene v2 v = wR y a .= — 7 c R (coR)2 , ar = ------- o ur — co~R R Como ac = w 2R y R = A, es posible rescribir la ecuación (14.12) como sigue a = — w 2A eos mí Esta relación expresa la aceleración de un cuerpo que se mueve con MAS con amplitud igual a A y frecuencia angular igual a a¡ (en rad/s). Es posible hallar la misma ecuación expresada en términos de la frecuencia/(en Hz) sustituyendo co = 277/para obtener a = -ATT2f-A eos (2ttft) (14.13) Si observamos la ecuación (14.9) podemos simplificar esta ecuación como sigue x eos 9 = cos(27rft) = — Por tanto, la ecuación (14.13) se convierte en o bien a = —47t2/ 2A— J A a = -4 7 T2f~x (14.9) Se advierte que la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento, a cuya dirección se opone, como debe suceder de conformidad con la ley de Hooke.
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Física, conceptos y aplicaciones S
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Publisher: Javier Neyra Bravo Direc
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Para Jared Andrew Tippens y Elizabe
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Prefacio xiii Capítulo 1 Introducc
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PARTE I Meca nica Introducción Cen
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Resumen El almacenamiento de cargas
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26.3. ¿Cuál sería el radio de un
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27.1 El movimiento de la carga elé
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Los instrumentos para obtener imág
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tir ese aparato en un instrumento c
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Objetivos Cuando term ine de estudi
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Resumen La investigación sobre la
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Preguntas de repaso Comente esta af
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Preguntas para la reflexión críti
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