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432 Capítulo 21 Movimiento ondulatorio
Figura 21.8 Fuerzas de restitución que actúan sobre las partículas de una cuerda vibrante.
recorre la cuerda, cada partícula oscila hacia atrás y hacia adelante respecto a su propia posición
de equilibrio.
En el capítulo 14 sobre el movimiento armónico, se encontró que la velocidad máxima de
una partícula que oscila con una frecuencia/y una amplitud A está dada por
Vmáx = 27TfA
Cuando una partícula tiene esta rapidez, está pasando por su posición de equilibrio, donde su
energía potencial es cero y su energía cinética es máxima. De modo que la energía total de
la partícula es
E = U + K = Kmáx
1 , 1
= 2 ; m ’m á x = - m i l T T f A y
= 2ir2f 2A2m (21.4)
A medida que una onda periódica pasa a través de un medio, cada elemento de éste
realiza trabajo continuamente sobre los elementos adyacentes. Por lo tanto, la energía que se
transmite a lo largo de la cuerda vibrante no se confina a una sola posición. Ahora se aplicará
el resultado obtenido para una sola partícula a la longitud total de la cuerda que vibra. El contenido
de energía de toda la cuerda es la suma de las energías individuales de las partículas
que la forman. Si m representa la masa total de la cuerda en vez de la masa de cada partícula,
la ecuación (21.4) representa la energía de la onda total en la cuerda. En una cuerda de longitud
L, la energía de la onda por unidad de longitud está dada por
E , , , /«
- = 2tt y A -
L
L
Sustituyendo ¡i para la masa por unidad de longitud, escribimos
- = 2 tt2/ 2A V (21.5)
La energía de la onda es proporcional al cuadrado de la frecuencia/, al cuadrado de la amplitud
A y a la densidad lineal /x de la cuerda. Debe tomarse en cuenta que la densidad lineal no
es función de la longitud de la cuerda. Esto es cierto, puesto que la masa aumenta en proporción
a la longitud L, de modo que ¡x es constante para cualquier longitud.
Suponga que la onda viaja por la longitud L de una determinada cuerda con una rapidez
v. El tiempo t necesario para que la onda recorra esta longitud es
t =
L
Si la energía en esta longitud de cuerda se representa por E, la potencia P de la onda está dada
por
E E E
P = — = ——= —v
t L/v L (21.6)