Geschichte der Königlich Preussischen ... - Warburg Institute

284 170Ä. Helmholtz, EiUdeckmigsgesehichte des Priiicips der kleinsten Aetion.
aber die Lelire von der Wanne nnd den magnetisch -elektrischen Wirkungen unter
dieselbe Fonn gebracht worden ist, erweist es sich als ein umfassenderes Gesetz,
als es die wägbaren Körper sind.
Das Gesetz der kleinsten Action schliefst sich eng an das von der Energie
an und vervollständigt dasselbe. Das letztgenannte Gesetz giebt nämlich nur eine
einzige Gröfse, das Quantum der Energie, an, die im Verlauf jedes Naturprocesses
constant bleiben mufs. Darüber, wie übrigens der Procefs zwischen seinem An-
fangs- und Endstadium ablaufen wird, giebt es nichts weiter an. Um das zu er-
mitteln, mufste man bei den Systemen wägbarer Körper auf die allgemeinen Be-
Avegungsgleichungen zurückgehn. Nun ist es gerade dies, was durch das Gesetz
von der kleinsten Action bestimmt wird.
Um den Sinn dieses allgemeinen Princips auseinanderzusetzen, wollen wir
mis zunächst beschränken auf die Bewegungen wägbarer Körjjer. Der Ablauf
dieser Bewegungen ist bedingt durcli das Beharrungsvermögen der schweren Körper
und durch seinen Contlict mit den Bewegungskräften, die die Bewegung zu ändei-n
streben. Man kann sagen, das Princip der kleinsten Action definire die Wirkungen
des Beharrungsvermögens unter den allgemeinsten Bedingungen in diesem Conllicte.
Beginnen wir mit dem einfachsten Fall. Eine punctförmige Masse, auf die
keine bewegende Ki'aft wirkt, sei durcli einen ersten Anstofs in Bewegung gesetzt.
Wir wissen, dafs sie ihre Bewegung in gerader Linie fortsetzt mit gleichförmiger
Geschwindigkeit. Zwar können wir einen solchen Versuch unter irdischen Bedingungen
nicht mit vollkonnnener Genauigkeit ausführen, da wir nie alle widerstehenden
Kräfte, Reibung, Luftwiderstand u. s. w., bis auf den letzten Rest ent-
fernen können. Aber wir können uns doch durch den Versuch überzeugen, dafs
je soi'gfältiger wir jeden Widerstand entfei-nen. desto länger der bewegte Körper
in seiner geradlinigen gleichförmigen Bewegung beharrt.
Durch diese Forderung, der bewegte Massenpunct solle den kürzesten Weg
zwischen dem gegel)enen Anfangs- und Endpunct seiner Bahn beschreiben, sind
sänimtliche übrigen Puncte der Bahn bestimmt. Die zweite Forderung, welche bei
dieser Bewegung zu erfüllen ist, dafs nämlich die Geschwindigkeit des Körpers
in seiner Bahn constant sei, kann man aucli so ausdrücken, dafs das Quadrat der
Geschwindigkeit nuiltiplicirt mit der blasse, d. h. die lebendige Kraft, einen con-
stanten vorgeschriebenen Werth habe. Da in diesem Falle keine äufseren Kräfte
wirken sollen, so ist die potentielle Energie gleich Null, also hat auch die gesammte
Energie, die schon nach dem Gesetz der Erhaltung der Kraft constant
bleiben mufs, einen bestimmten vorgeschriebenen Werth, da sie sich aus den beiden
in diesem Falle während dei" Bewegung unveränderlichen Summanden, der
lebendigen Kraft und der potentiellen Enei'gie, zusammensetzt.
Man kann die Beschreibung der geradlinigen, gleichförmigen Bewegung des
vorausgesetzten Massenpunctes also auch in der Form geben: die Bewegung des
Punctes geschieht vom vorgeschiiebenen Anfangspuncte zum Endpuncte der Bahn
in der kürzesten Zeit, in der das bei dem gegebenen Werthe ihrer Energie möglich
ist. Da bei gegebener Energie, das heifst in diesem Falle Geschwindigkeit
der Bewegung, der kürzeste Weg auch in kürzerer Zeit als alle andern Wege
zurückgelegt wii'd, so wird die kürzeste Dauer der Bewegung auch nur auf dem
kürzesten Wege gewonnen werden können.
Diese letztere Beschreibung des \'organges giebt also genau und vollständig
dasselbe , was die erstere einfachere Angabe , dafs der Weg geradlinig und die Geschwindigkeit
gleichförmig sei, aussagte. Welchen Grund haben wir, diese etwas
schwerfälligei-e Beschreibung zu bevorzugen;*
Der Grund ist der, dafs schon in wenig verwickeiteren Fällen die Bewegung
der einzelnen Massenpuncte nicht mehr geradlinig und gleichförmig ist, wohl aber