Journal des mines

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
MÉMOIRE
SUR
LES COORDONNÉES CURVILIGNES
Par M. E. ROGER, ingénieur en chef des mines.
Introduction. -- L'emploi des coordonnées curvilignes
s'étend chaque jour davantage. Bien 'que l'on ne se soit
guère occupé jusqu'ici que des systèmes orthogonaux, cette
méthode analytique, extension naturelle de la méthode
créée par Descartes, s'est montrée remarquablement féconde,
surtout entre les mains de l'éminent géomètre que la
science et le corps des mines ont perdu récemment,
M. Lamé. « Ce sont précisément les systèmes de coordonnées,
comme le fait remarquer M. Lamé, qui caractérisent
les phases ou les étapes de la science. Sans Finvention
des coordonnées rectilignes, l'algèbre serait
peut-être encore au point où Diophante et ses commentateurs
l'ont laissée, et nous n'aurions ni le calcul infinitésimal
ni la mécanique analytique. Sans l'introduction
des coordonnées sphériques, la mécanique céleste
était absolument impossible. Sans les coordonnées elliptiques,
d'illustres géomètres n'auraient pu résoudre
plusieurs questions importantes de cette théorie, qui
restaient en suspens, et le règne de ce troisième genre
de coordonnées spéciales ne fait que commencer. Mais
quand il aura transformé ou complété toutes les solutions
de la mécanique céleste, il faudra s'occuper sérieusement
de la physique mathématique ou de la mécanique ter-
« restre. Alors viendra nécessairement le règne des coor-
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données curvilignes quelconques, qui pourront seules
aborder les nouvelles questions dans leur généralité... »
Nous nous proposons d'étudier, dans le présent mémoire,
divers systèmes de coordonnées curvilignes, obliques
pour la plupart. Nous établirons quelques formules,
à la fois très-générales et très-simples, les premières, en
quelque sorte, que l'on rencontre dans cette voie nouvelle
que M. Lamé a signalée à l'attention et aux efforts des géomètres.
Nous ferons ensuite ressortir l'utilité de nos formules,
en montrant avec quelle facilité elles donnent la
solution, à peu près complète, de l'une des questions les
plus épineuses de la mécanique moléculaire, la capillarité.
PREMIÈRE PARTIE.
1. Systèmes unicursifs. - On peut définir la position
d'un point de l'espace soit par les trois coordonnées rectilignes
habituelles (x, y, z), soit par trois autres variables
0,, v.,y) liées d'une manière quelconque aux coordonnées
(x, y, z). Si, à chaque système de valeurs réelles des variables
(x, y, z), il correspond un système unique de valeurs
réelles des nouvelles variables 0,, p., v), le nouveau système
sera propre à représenter, sans ambiguïté, tous les points
de l'espace indéfini. Nous dirons alors qu'il est unicursif.
Supposons cette condition remplie pour un point déterminé,
et considérons un point infiniment voisin. Lions les
deux systèmes de coordonnées par trois équations telles
que celles-ci
(i) X =fi(X, P., Y), y = f,(X, P., Y), z = fa(X, p., y);
il est facile de voir que le système 0,, y., y) ne pourra être