Journal des mines

4o EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
S, au moyen de deux plans parallèles au plan P, les actions
attractives produiront deux résultantes R, et 1.1, dirigées
l'une et l'autre selon l'axe même du cylindre, que nous
supposerons vertical et invariablement lié aux surfaces S1,
S,. En raison de la symétrie, toute autre composante doit
évidemment disparaître ; les résultantes R B, sont d'ailleurs
identiques, au signe près, si l'on admet, comme nous
le ferons, que les actions et les réactions soient constamment
égales. Aucune de ces conclusions ne sera modifiée si l'on
a affaire à deux surfaces cylindriques indéfinies quant à
leur étendue de part et d'autre de leur base commune,
pourvu que la distance 1, à laquelle les actions attractives
cessent de s'exercer soit définie ; c'est ce dernier cas que
nous allons soumettre à l'analyse.
Soient In et n 'les centres de deux éléments superficiels
appartenant respectivement aux surfaes S, et S M et N les
projections de ces points sur la ligne de contact ou de séparation
des deux surfaces. Menons, dans le plan MmNn,
Mn' et Nin' parallèle à .mn. Concevons, d'autre part, au
point M trois axes Mx, My, Mz ; le premier, tangentiel -à la
ligne de contact ; le second, vertical, et le troisième, normal
aux deux autres et par suite aux surfaces S, et S L'action
réciproque des éléments m et n donnera lieu à une
composante verticale F dont la valeur peut s'exprimer ainsi
qu'il suit
Y
F = 11 (),) dudxdy,
en désignant par (x, y) les coordonnées du point In, par
la distance mn = Mn`= Nmi, par Y l'ordonnée Mm'= Nn`
" et par da. l'étendue de l'un ou l'autre des éléments superficiels
n, n'.
Si l'on donne aux points nt et n toutes les positions possibles
sur les lignes Mm', Nn,', mais de telle manière que
demeure invariable, on aura toujours uue composante ver-
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 1 41
ticale identique. Une première intégration, par l'apport à
y, permet de réunir toutes ces composantes en une seule
dont la valeur est
Y'
F, do-dx.
Tous les éléments linéaires tels que dx donneraient lieu
à une composante identique ; de là, pour l'étendue entière
TcD de la ligne de contact un ensemble de forces qui s'ajoutent
et produisent une résultante unique exprimée par
l'équation
Y'
F, 1-.1D11 (X) cla,
Nous sommes ainsi ramené, après deux intégrations, au
cas déjà traité de l'action d'une portion de surface sur un élément,
avec cette seule différence- qu'il faudrait attribuer
aux divers éléments d7 une densité proportionnelle à leur
distance Y à la ligne de contact. Supposons d'abord que le
rayon d'activité des forces attractives soit tout au plus
égal à D ; nous aurons, en désignant par R le rapport
c'est-à-dire la résultante rapportée à l'unité linéaire, et
7cD'
en introduisant le système 0,, p., z) ,
R (X)
0
e) sin'
il
sin' p. cos'
D2
p.
dXd