Journal des mines

150 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
trois axes rectangulaires Mx, My, Mz, les deux premiers,
tangents respectivement à ce parallèle et à la ligne de plus
grande pente, le troisième, normal à la surface et passant
en conséquence par le centre C de la sphère. Soient a le
rayon de la sphère, D le diamètre du parallèle, 0 l'angle
que la normale fait avec le plan de ce parallèle, on aura
D 2a cos O.
La position d'un point N de la sphère peut se définir,
soit par les coordonnées (x, y, z), soit par deux angles
et y; le premier désignant la longitude de ce point par
rapport au méridien Myz, le second, sa latitude par rapport
à l'équateur CMx. Les formules de transformation relatives
à ces deux systèmes sont les suivantes
x a sin 4, cos , y a sin y, z a(1 cos cos ?).
Les lignes ? = const. 4 = const. décomposent la sphère
en éléments superficiels dont l'étendue do-, déduite de l'équation
(2), est
da = a' cos pdycli,.
Si l'on considère un point M' situé sur la ligne de plus
grande pente MMS".... on _aura semblablement
x' o, y'= a sin (p', = a(i cos T'), a' cos T'dT'd1/
La distance M'N ou ?, est donnée par l'équation
d'où
2a2
),2 = (x -I- (2;
= i sin y, sin y,' -- cos g, cos p cos p'.
Cette équation peut s'écrire ainsi
2); = (ri `Y-2)
2
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 151
en négligeant seulement des quantités du quatrième ordre;
on en déduit
Il résulte de là que, si l'on fait varier y et y' en laissant et
d
;d constants, le rapport ne différera de l'unité que par
d?
des quantités du second ordre. Dans ces limites d'approximation,
on pourra, sans faire varier ni y!), considérer
dp et d?' comme des quantités constantes ; c'est à cette
conditiort que les valeurs de da et de dal données plus haut
sont applicables:
Si les deux parties de la sphère s'attirent mutuellement,
les éléments da et da.' donneront lieu à une composante
verticale F qui s'exprimera de la manière suivante
F 11(X)
y
- Z
' cos 0 + sin 0) dada';
X ,
en raison de la symétrie, il est clair qu'on n'a pas à_ tenir
compte des composantes horizontales.
Après avoir remplacé yy' par a (sin psin z'
par a (cos cos cos y), dc par a2cos p dyd4, et do.' par
a' cos fi d?' , une première intégration pourra s'effectuer,
par rapport à'; la composante F, relative à l'élément linéaire
ad/ doit évidemment être comptée autant de fois
qu'il existe d'éléments de cette nature dans le périmètre T;D.
Au lieu d'étendre l'intégration au périmètre total, on peu
se borner à une certaine fraction de ce périmètre d'une
étendue égale à l'unité linéaire; on obtiendra ainsi une
première résultante partielle F, dont la valeur est
110.)
F, [(sin T. sin T') cos 0 + (cos (V-
- cos cos cp) sin 6] cos cos (?'