Journal des mines

154 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
traction rencontre une surface donnée, elle y détermine
une série de lignes d'égale ,attraction.
Sur le plan et sur la sphère, les lignes d'égale attraction
consistent en une infinité de cercles ayant, dans le premier
cas, pour centre commun, dans le second cas, pour pôle
commun la projection du point attractif sur la surface ellemême.
Supposons qu'il s'agisse d'un cylindre à base circulaire,
et plaçons le point attractif M sur la circonférence de la
base. Si la distance est extrêmement petite par rapport
au diamètre D du cylindre, il est clair que la ligne
const. différera très-peu d'un cercle tracé dans le plan
tangent; si, au contraire, le rapport devient extrême-
ment grand, cette ligne se confondra sensiblement avec un
cercle parallèle à la base. Entre ces deux cas extrêmes,
les lignes d'égale attraction présentent une 'série de
formes intermédiaires ; la plus remarquable de ces formes
est celle qui correspond à la valeur particulière ),.=. ; il
est facile de voir que les équations de cette courbe en coordonnées
P., p., z) sont, en prenant pour axe Mz, la normale
au cylindre
= D, z = D cotanni..
Les équations qui expriment, dans deux systèmes planisphériques
différents, l'élément superficiel du cylindre
(no i 1), peuvent, en y remplaçant sa par D, s'écrire ainsi
da=
4.X2 sin2p.
D'
da
DdX4
D' sin2p.
La première équation donne, pour do-, des valeurs toujours
réelles, quel que soit p., pouvu que -À soit compris entre o
et D ; il en est de même de la .seconde, lorsque ), est su-
X'
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 155
périeur à D. Ainsi, la ligne d'égale attraction )\ D sépare,
sur le cylindre, deux régions distinctes ; dans chacune de
ces régions, l'une ou l'autre des formules ci-dessus peut
être employée avec sécurité ; l'angle p. doit d'ailleurs, si
l'on veut embrasser successivement l'étendue de chaque
région, varier entre les limites o et 7C.
17. Attraction d'une portion de surface sur un élément
de cette surface. Cas général. Sans aborder encore les
phénomènes capillaires proprement dits, nous demanderons
aux formules qui viennent d'être établies la solution
de quelques questions d'un ordre plus général, où nous introduirons
des forces attractives d'une nature quelconque,
variables avec la distance suivant une loi arbitraire. Ces
forces pourraient d'ailleurs être répulsives sans qu'il en
résultât aucun changement analytique essentiel.
S'il s'agit de forces purement superficielles, c'est-à-dire
échangées entre des éléments appartenant à des surfaces
considérées comme des solides dont une dimension est
censée s'évanouir, l'action exercée par un élément do-, sur
un élément do-, s'exprimera par une fonction D N do-ido-,.
S'il s'agit de forces échangées entre des éléments de volume,
l'action d'un élément dU, sur un élément dU, sera
FP,)dU,dU,. Nous laissons de côté les actions qui n'intéresseraient
que des éléments linéaires (courants électriques,
etc.).
Recherchons, en premier lieu, la résultante des attractions
exercées par une portion de surface sur un élément M,
en lin-litant cette portion de surface par une sphère d'un
rayon ), ayant le point M pour centre.
Si l'on attribue à l'élément M une étendue égale à l'unité,
chaque élément superficiel do. donnera lieu à une
force Dp,)do-, qui pourra être décomposée en trois autres,
parallèles aux trois directions Mx, My, Mr et ayant respec-
tivement pour valeurs : [IN 111.
À
do-.