Journal des mines

18 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
dx
dG =
= (7, COSP' d y. d p.
dy tiG dydG
sin
d tl
dG dz dG
Gd = X
dX' di
,clx
S G sin p.,
--cF, cos p..,
.dy c./G
p. + G COS V.,
757.sin p.,
dv
dz clG dz
z -z.
dv
Il résulte de là que tous les éléments de. la molécule N
peuvent être ramenés à ne plus dépendre que des trois parad
dz dz
mètres --, s'd1 -s'agit des -éléments .linéaires ou
cl),' cly'
superficiels de la face y = const., on n'a plus que des foncc1z.
dz
tions de - et de . Nous ne nous occuperons ici que
d), de'.
de l'élément de volume dIJ et de l'élément superficiel dcr,.
7. Éléments de volume en coordonnées planisphériques.
Si l'on remplace, dans la formule (3)., les six paramètres
dx dx dx dy dy dz
-- par leurs valeurs en fonctions de
dz dz dz
, déduites tes des équations différentielles -données
d) dy. dy
dans le numéro précédent, on obtiendra
(4)
dz
dU=-,--- X -é/y
Cette formule, remarquablement Simple, peut s'établir 'à
l'aide de considérations géométriques tout à 'fait élémentaires.
Soient, en effet, N 'fin peint placé à une distance
de l'origine M, liflz l'axe du système planisphérique, y. l'orientation
du plan zMN. Les trajectoires déterminées sur ce
plan par les surfaces), = const.., =const. forment une série
de parallélogrammes élémentaires; l'aire dc. de l'un de ces
parallélogrammes a!éVidemment pour mesure NN'd),, si INN'
est l'élément linéaire de la-c,ourbe const. Soient, d'autre
part, P et P' les projections des points N et N' sur l'axe Mz,
EMPLOI 'DES COORDONNÉES CUILVILIGNES. 1 19
Q la projection du point N' sur la droite NP ; on aura
N'Q PP'= dz dv. Le parallélipipède dont nous avons à
dy
rechercher le volume a pour 'base, dans le plan zMN, l'élément
superficiel do-, et sa hauteur est NPdy ; de là
dU = NN'. NP. dXdp...
Mais les deux triangles NIN/Q, MNP sont semblables, puisque
leurs côtés sont perpendiculaires, et l'on a
Ni': MN :: N'Q : NP,
ce qui permet de déduire la formule (4) de l'équation prédz
cédente , par la substitution de MN. N'Q ou de ), dy à
dv
NN'. NP.
La variable y est complétement arbitraire; si on la suppose
j'identique à z, ce qui revient à prendre pour la série
des surfaces y = const. une série de plans perpendiculaires
dz
à l'axe Mz, on aura dy = dz ; d'où il suit que l'élément
dy
, de volume est donné, dans le système (),, y, z), par l'équation
dU
Cette formule ne le cède en rien, quant à la simplicité, à
celle qui convient aux coordonnées rectangulaires, savoir
dU = dxdydz.
.8. Éléments super(iciels en coordonnées planisphériques.
-l'élément superficiel, de, est donné par l'équation
/clxdy dyx\' /dydz dzdy\' /dzdx clxdx\'
Zip.) + 715:-dv.)