Journal des mines

I;
138 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Si D est le diamètre de la sphère, on obtiendra, en rem-
plaçant z par ri et en intégrant ensuite par rapport à p.,
2
= 7 S ri (X) XVX.
D
19. Cas du cylindre. S'il s'agit d'un cylindre de rayon
a, l'ordonnée normale z sera donnée, en fonction de ), et
de p., par l'équation
V =
1
V =
sin tJ
1
sin2p.
1
).2sin"
La résultante est encore ici normale à la surface et s'exprime
ainsi qu'il suit, en supposant ),,< 2 a,
R = a
Pour effectuer l'intégration par rapport à i, nous développerons
tout d'abord, suivant les puissances croissantes
de r, la fonction
ce qui donne
z
(+2,
1 3 2n 1
= 2 2 2
1 . 2 n
sin2p.
?,=si,n2& cos'p.
(X) a'
sin J.
a'
),"sin'p.cos`p.
a'
).9;sin9pcos2
a'p.
x
sidnn.ecos'"p. (-\ .
a)
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 139
Nous abrégerons les notations en introduisant ici la fonction
F(n), qui généralement désigne l'intégrale eulérienne
e-x dx et se réduit au produit 1.2.3.... (n i)
0
lorsque n est entier et posisitif, et à l'unité lorsque n =r ;
nous aurons ainsi
V 2,1":(22rn,(1-n 3)2) sin,n1,cos,,,,,p, (?:_ct)
Cela posé, de la formule bien connue
2-' " = COS 2n p. ± 2n cos (an 2) p. +
(1.
an (an i) cos2n 4)
on déduit
et, par suite,
1 an (an 1)...(n+ i)
...
1.2 2 1. 2
C21Z
cos" =
^27. i,27C
0
r (2n -I- 1)
r2 (n 1)
i 27, .17 P (an + 1)
sin"apdp =
:.
o 2" P'(n-E
En conséquence, la résultante 11 s'exprimera de la manière
suivante
\I" 2n+ (2n + 1) 1
R = Ai.=do F4(n-1-1) 26-Na2"+'
II (X) el-F-2(1X.
20. Action réciproque de deux portions (l'une surface cylindrique
séparées par un plan normal à l'axe. Considérons
deux portions d'une surface cylindrique S, et S séparées
par un plan P perpendiculaire à l'axe du cylindre,
et supposons que les éléments de ces deux portions de surface
s'attirent mutuellement. Si on limite les surfaces S