Journal des mines

1 46 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
suite, il est facile de voir que la distance nu' ou ), satisfait
à l'équation
,z+ 40 sin,
2
/1 résulte de là que, si et x sont constants, il en sera de
même de p V. Donc si l'on pose
= u y, u y,
on pourra tout d'abord considérer v comme constant, et
l'on aura
dcp du,
rip,) .
F =_- 2a' sin y cos u dudydxdx'
Nous définirons la position de l'arête de contact au moyen
de l'arc 9 qui s'étend entre le point où elle rencontre le
plan Myz et l'origine M. Cela posé, deux intégrations successives,
l'une par rapport à u, entre les limites y et
5 -1- y qui correspondent aux deux valeurs V = 0, p= 0,
l'autre, par rapport à x', entre les limites o et 1, donneront
une résultante partielle F, dont la valeur, est
np,)
F, = 2a3 sin y [sin (0 + y) sin (0 y)] dcpdx.
Nous pouvons maintenant, en laissant x constant, faire
à la fois ), et y. Si y est pris, pour un moment, pour vat"?
riable indépendante, dv et --- seront des quantités équiva-
lentes, car l'équation y = " se réduit, lorsque V s'an-
nule, à y = `f2; on aura, d' après cela,
2
I1(X)
F, 8e' cos 0 sin' v dvdx.
D'autre part, on a
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
sin'
de là, si x est constant,
X' x'
sin y cos vdv dX.
On peut donc, en censidérant désormais ), conune variable
indépendante, écrire F, sous cette forme
Posons maintenant
F, 2a11(X) cos 0 tang miXdx.
X = X cos 1);
nous aurons, en laissant ), constant,
et, par suite,
dx X sin 4,(45,
F, II(X) X' cos 0
-
X' sin tp
dXe.
Nous admettrons que le rayon d'activité est toujours inférieur
à 2a; did devra, ila,ns Cc cas, prendre, quel que soit
1, toutes les valeurs comprises entre o et 7c. En intégrant
par rapport à 1), après avoir remplacé
X' sin' q,
4u'
par
r(2n 1) sire"' ( X )
+ 1) 2"
on obtiendra la résultante définitive R sous cette forme
R
7C COS 0 71'' 2n+ r2(2n+ 1)
n+ r4(a i) 26"a2n
II(X)X2"2dX.
On peut arriver à ce résultat par une autre voie, en employant
d'autres systèmes de coordonnées.
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