Journal des mines

Go EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILTGNES.
l'erreur totale d'intégrer par rapport à p de o à It;
on a ainsi
[1 (1 1) 1 (1 1 1
8 R = ri(X )),S
64 5a b b' 2 b' b''
Introduisons cette valeur de R dans l'équation (12) ;
d'autre part, observons que l'on a
,S [n' ) ()X] dX =il (X) 6 Su (X)X4dX.
Nous obtiendrons, en admettant que H 0,) s'annule pour
o (condition qui est remplie notamment lorsque
H (),) =) l'expression Suivante de la résultante R
X'
(15)
R
lt
2 Jo
(X) Xv),
T, 1 2 2 1 1 1 11
(ÎE'3" -C/b -7)7C1 (I)14dx-
Lorsque les deux surfaces se réduisent l'une et l'autre à
un plan, le second terme de la résultante s'évanouit et l'on
retrouve la formule (i i) du n° 19.
Ce terme s'évanouit .encore lorsque les trois rayons de
courbure a, b, b' deviennent égaux, c'est-à-dire lorsqu'il
s'agit d'une sphère coupée par un plan qui passe par son
centre.
La résultante R se réduit aussi à un seul terme lorsque
la courbure -el s'évanouit seule, si en même temps a .et b
deviennent identiques ; les deux surfaces en présence se réduisent
alors, l'une à une sphère, l'autre à un cylindre
-circonscrit à cette sphère.
Si les courbures - - sont nulles, les deux surfaces sont
b'
remplacées par un cylindre de rayon a. L'expression de la
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 16
résultante reproduit alors les deux premiers termes de la
formule générale ( 0) du n° 19.
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Supposons enfin que les courbures-,
a - s'évanouissent;
b'
R mesure, dans ce cas, l'action réciproque d'une surface cylindrique
et d'un plan tangentiel à cette surface, et l'on a
R = n (),) X'dX So II (X) X"Ca.
2 0.10
24. Action exercée sur un point matériel par les éléments
de volume situés de part et d'autre d'un plan passant par ce
point. Occupons-nous maintenant des actions exercées
par des éléments de volume. En premier lieu, nous
considérerons un point M, situé sur un plan P, comme
étant le centre d'un élément de volume ; nous supposerons
que cet élément soit attiré par tous les éléments de volume
situés d'un même côté du plan P, et nous rechercherons
la résultante de toutes ces attractions, en admettant,
comme précédemment, que l'intensité des forces attractives
ne dépend que de la distance X des éléments en présence,
et que le rayon d'activité de ces forces est une quantité
finie Xi.
Un élément de volume dU s'exprime, en coordonnées
planisphériques (X, p., z), par la formule suivahte (n0 7)
dU IdXdp.dz.
En conséquence, si l'on prend pour unité de volume le
volume de l'élément M. la résultante R des forces attractives
qui s'exercent sur cet élément, résultante nécessairement
normale au plan P en vertu de la symétrie, sera
donnée par l'équation
z
R 1F(X) - XdXdp.dz,
0
TOME V, 1874.
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