Journal des mines

126 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
ne dépend que de , et nullement de: ),; on a donc
dz,
z = ; d'où la valeur de do-. En éliminant z, on aura
da=
da. =
2a dX
4a2 sin'
5° Supposons enfin que faxe MZ du système fasse avec la
normale à l'origine un angle 0 différent de o et de Nous
2
nous servirons encore ici des systèmes ,auxiliaires (x, y, z)
(x, Y, Z) définis dans le numéro précédent et des formules
de transformation (7), qu'on peut, en éliminant Y, écrire
x sin t.t. y cos 0 cos pu z sin 0 cos p.,
X2
En combinant ces équations avec l'équation de la surface
en coordonnées (x, y, z) on obtiendra les paramètres dif-
dx dx dy dy d z dz
férentiels la formule fondamen-
, d)' d v,' d),' '
dv.
tale du n° 8 fournira ensuite l'expression suivante de de
ax),
y (a z) sin I,. cos (a cos O y sin 0) cos' p:
Dans cette équation, x, y, z sont des fonctions de )\ et de
qu'il serait aisé de déterminer au moyen de l'équation, de
la surface et des formules de transformation données plus
haut. Il suffit, du reste, de fkre alternativement 0 = o et
- pour retrouver les deux formules qu'on a obtenues
tout à. heure en traitant dire.ctement ces deux.cas.particuliers.
1 2 . Équation d'une surface en coordonnées planisphériques.
L'équation d'une surface, en coordonnées (x, y, z),
EMPLOI DES COORDONNÉES cuRvirIGNEs:. 127
l'origine étant sur la surface même, peut généralement
s'écrire ainsi
dz dz (Pz, x2 ez dl y' (11z x'
z x Ty Y -1- dx2 dx d y xY dy2 -2 m dx3 -6- -Fez
ey d'z xy' d'z y
+dxldy 2 + dxdy2 H-
e. ne renfermant que des. termes d'ordre supérieur au troi+
dz
sième. Les constantes - peuvent s'évanouir ; nous
dx
admettrons qu'aucune. n'est infinie; dans ce cas, la surface
est continue autour de l'origine, et possède un plan tangent
ayant pour équation
dzdz
z =_- crx x, ciy. y.
Si l'on fait coïncider l'axe 111z avec la normale à ce plan, et
si, de plus, on oriente les deux autres axes de manière:à
faire disparaître le rectangle xy, l'équation de la surface,
abstraction faite des termes du quatrième ordre ou d'un
ordre supérieur, prendra cette forme
= - (GT' 3D.ey-+ 3E;xy2 Fxya).
2A 2B 6
On passera du système ,(x, y, z) au système (),, z) au
moyen des formules du'n° 6, et l'on obtiendra ainsi
(8)
en posant
-6
_
z =
cos'It s1n9[1.
A
(C cos31./ + 3D cos2p. sin p. + 3E cos_ p. sin' F
La section normale dont l'orientation est [J. a pour rayon
de courbure y. Lorsque les constantes A et B sont l'une et
l'autre positives, y est toujours positif et compris entre A