Journal des mines

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
L'équation (8) nous donne, en négligeant les quantités du
troisième ordre,
et, par suite,
da =
dz À dz d l'y.
= '
),2 (d
Faisons subir maintenant à z une variation dz ----;--P3; il en
d, z d z
résultera pour et les variations suivantes
!_\
dz, dz
'(3)'3
et l'on aura, en tenant compte seulement des termes de
l'ordre le moins élevé,
idz dz dz edv-;
da 3X2 7 73À2
d'où l'expression suivante, exacte
quatrième ordre inclusivement,
(g) da
y
jusquiaux quantités du
edt.L.
14. Éléments superficiels en coordonnées curvipolaires.
Théorème de Gauss. Imaginons qu'en un point M d'une
surface on mène un plan normal, et qu'a partir de ce point
on mesure, sur la section normale, un arc d'une longueur 1.
La variable 1, combinée avec l'orientation p. du plan normal,
fournira, pour la surface dont il s'agit, un système de
coordonnées à deux dimensions qu'on peut désigner sous
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. I 31
le nom de curvipolaire, puisqu'il n'est que l'extension aux
surfaces courbes du système -polaire propre au plan. Les
latitudes et les longitudes sur la sphère rentrent évidemment
dans ce système, quoique les làtitudes soient comptées
à partir de l'équateur.
Si l'on conçoit en M le'système (x, y, z) déterminé par
la normale et les lignes de courbure, l'élément linéaire dl
sera donné par l'équation différentielle
dl (ddxx)2 (a.71j7) 2 (zdZ) 2
de là, en ayant égard aux formules de transformation du
tr. 6,
G
(16-) 2 /dz) 2
+ dX=
z dz /dz 2
6.7) dX.
Si l'on néglige les quantités du quatrième ordre, on aura,
en vertu de l'équation (8),
et en intégrant
Inversement, on a
et, par suite,
dz) 2
),3)
(1), + -87 + cln,
),3 n4
pri2+
1'
24y' ÉLY
)1'` 7
n 61'2 41Y
z