Journal des mines

1 2 0 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
dx dx cly dy
L'élimination des paramètres --, d)- peut s'effecd),
dv. , d p.
tuer sans aucune difficulté au moyen des équations différentielles
du n° 6; on obtient ainsi, en supprimant un indice
désormais inutile,
(5) da =
1 (dz)'
(dz\'
zdz
2 X dX )22
d dp.
g. Éléments superficiels des surfaces de révolution.; de la
sphère; du plan. Considérons une surface de révolution
dont l'axe coïncide avec Mz ; on aura, en chaque point,
dz
=
équation qu'on peut regarder comme l'équation différentielle
des surfaces de révolution dans le système (X, z),
et qui, par l'intégration, donnerait, en introduisant une
fonction arbitraire,
z F (),).
Par suite, l'élément d7 devient
da = (c-à
d7.,)2 z dz
727 dXdp..
Il est facile d'établir synthétiquement cette formule.
Soient, en effet, NIN' un élément linéaire d'une section principale,
G ou /)2z2 la distance du point N à l'axe Mz.
L'élément NN' engendrera, en tournant autour de cet axe,
un élément superficiel dc dont la mesure est évidemment
NN'. Gdp.. Mais, en menant par les points N et N' deux
droites NP et N'O, l'une perpendiculaire, l'autre parallèle à
Mz, on détermine un triangle rectangle NN1Q dans lequel
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 121
les côtés de l'angle droit ont respectivement pour valeurs
dG dz
(-17. dl et d À ; on a donc
, et, par suite,
NN' =---
()2 dG (G If) cad
dXdX
dG
Il suffirait maintenant d'éliminer G et pour obtenir la
d),
formule donnée plus haut.
Supposons que la surface de révolution devienne une
sphère et que l'origine M soit placée en un point de cette
sphère. Si l'on abaisse NT perpendiculaire sur MN', le
triangle infinitésimal NN'T sera semblable au triangle MNP
(les angles NN'T et NMP étant évidemment complémentaires)
et l'on aura
d'où
et, par suite,
NP : N'T :: MN:
NN' =
MN .N'T ),dX
NP
(6) de =-- XdXdp..
C'est, en effet, à cette formule que se réduit l'expression
générale de dcr, lorsqu'on tient compte de l'équation
z
qui est, en coordonnées (X, z), celle d'une sphère de diamètre
D.
On peut remarquer que l'élément dcr de la sphère est indépendant
du diamètre. Si l'on suppose ce diamètre infini,
la sphère se confond avec son plan tangent, et la for-
X'