Journal des mines

156 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
d'un point m pris sur la surface S' et dans le plan Myz.
La distance mn ott...X est donnée par l'équation.
= (x x')'+ (y
L'élimination des variables x, x', z et z' permet d'écrire
cette équation sous la forme suivante
en posant
= Y +
1.4
Y ib2 1,a2,
v
L2y2 L'y' y" y" y' Y'2
ab 2ab' 4b2 4b 2 2b6
L'attraction Mutuelle des éléments dc, dc' donne lieu,
pour chaque élément, à une composante verticale F qui
peut s'exprimer ainsi
F n (x) Y dcrdcr'.
Lorsque v s'évanouit, c'est-à-dire lorsque les deux' surfaces
S, S' sont remplacées par un cylindre (n° 20), la
différence y y' ne dépend que de et de L. On peut
alors, en maintenant "), et L constants, effectuer une première
intégration par rapport à L' entre des limites arbitraires,
par exemple entre o et 1, puis une seconde, par
rapport à y, entre les limites o et Y, après avoir substitué
y Y à y'. On obtient ainsi une première résultante
partielle F, dont la valeur est
())Y2
x dYdL.
Mais, en laissant L constant, on a
YdY;
de là
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 157
F, II (X) \A,2
L4
12a
L'ordre des intégrations qui doivent fournir la résultante
R est arbitraire ; en conséquence, nous intégrerons
d'abord par rapport à L, entre les limites -± +41)
qui annulent F,. A cet effet, nous poserons
d'où
X2
L (1 + COS p,
2.4a'
X'
X ( .2(-17)
et nous ferons varier l'angle p entre les limites o et n. Nous
aurons ainsi
et, par suite,
X2sin2y
F, n (X) sin2(p (I 2(ia' ) dXdp,
('),1
511
R - (X)),2c/X ()) X4e.
2 J 0 64e 0
Revenons maintenant aux surfaces S, S'. A chaque point m
de l'une de ces surfaces correspond, sur le cylindre circonscrit,
un point m' ayant même longitude et même hauteur.
En désignant désormais par ), la distance m'n', mn
ne différera de ), que par une quantité du troisième ordre,
-
dont la valeur est on a d'ailleurs
--A
v
'
v L'y' + 1(.---,yr y4 (Y e+ Y' (Y ,Y)2
2ab 2 ab' 4b2 abb'
Cela posé, la composante F s'exprimera de la manière
suivante, enrifo,ai+saEn)tydLr:;
F + Y)1 dydYdL.
1+ L 2bc 2b'c'