Journal des mines

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
'mule (6) n'en demeure pas :moins applicable. On sait, 'en
effet, que c'est ainsi que s'exprime, en coordonnées polaires,
l'élément superficiel d'un plan.
L'équation (6) donne immédiatement la surface totale
d'un cercle de diamètre D et celle d'une sphère de même
diamètre ; on a, en effet, dans le premier cas,
et clans le second
S =
D
Cad =
,+9: -.27c TED2
o
^27t.
Xadp. = arDI.
o. Élément superficiel de la sphère en coordonnées planisphériques
obliques. Lorsque l'axe du système pianisphérique
passe par le centre d'une sphère donnée, les
-courbes = const. i= const. constituent un système orthogonal
de méridiens et de parallèles. Supposons maintenant
que cet axe fasse avec la direction du diamètre un
angle 0 différent de zéro ; nous obtiendrons un système de
coordonnées obliques. Il n'est pas sans intérêt de rechercher
l'expression de de dans ce système.
Introduisons à titre de coordonnées auxiliaires deux systèmes
(x, y, z) (x, Y, Z) respectivement formés au moyen de
l'axe MZ, de la normale Mz, de deux droites MY, My perpendiculaires,
l'une à MZ, l'autre à -3,1z et 'toutes deux situées
dans le plan 'MZz, et enfin d'une drdite Mx perpendiculaire
à ce plan et servant d'axe des x commun aux deux systèmes.
On passera de l'un à l'autre au moyen des équations
y = Y cos0 z = Ysin0 Zcos0.
L'équation de la sphère, en coordonnées p., z) , est
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 123
D'autre part, en introduisant la-variable auxiliaire G, projection
de la distance ), sur le plan xY, on a
suffirait, pour obtenir l'équation de la sphère en coordonnées
(),, p., Z), d'éliminer, entre ces six équations, les cinq
variables x, y, z, Y, G. Mais il est préférable de recourir aux
systèmes (x,y,z) (),, z) et d'employer la formule ;géné-
rale du n° 8, en y faisant = 0, ce qui donne
da
(dx dy [ (dx)' -1
(dY)2 dxdt.L.
dv. d7J.) v7-5) L dp.) dv.
Il faut maintenant, à l'aide des équations posées plus
haut, exprimer x et y en fonctions de ) et de p.. ::,En éliminant
Z et G, on obtient tout d'abord
On a ensuite, en éliminant Y et z,
X'
x sin p. y cos 0 coF- p.= sin 0 cos
D
dx dx dy dydz 21
différentiels --de, on a, d'autre part, 7.1-c =-d),
' d
De ces équations on déduit sans difficulté les paramètres
de là, toutes réductions faites, l'expression suivante de do-,
cos 0 +
Gcos;..t, Y= Gsin p., G' = X'
(7) -y cos 0 z sin 0 =Y, r.sin p. Y cos p. =:o.,
w`2-
z2.
-X sin 0 sin p. ledp.
D X' sin' 0 cos'
--si n'0 cos' p.
D'