Journal des mines

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
unicursif que si chacun des neuf paramètres différentiels
dx dx clx dy dz
dy
n), dy
n est susceptible que d'une seule
valeur et si, de plus, aucune de ces valeurs n'est infinie.
Mais ces conditions, évidemment nécessaires, ne sont point
suffisantes; en effet, des équations ci-dessus on déduit, par
différentiation,
dx dx dz
d x = clX dp.
dX dp.
dv, dy ..., d z .;
clv
ces équations ne donneront, pour chacune des variations
dp., dv exprimées en fonctions de dx, dy, dz une:solution
unique et finie que si le déterminant
D =_- - dx (dy dz dz, dy) dy (dz dx dx
clX dp. dv dp. dv d) d p.-c.
dz, (dx dy dy dx)
dX dv d p. dv
ne s'annule pas. Nous supposerons, par la suite, que ces
conditions d'unicursivilé sont toujours satisfaites.
2. Parallélipèdes élémentaires. Considérons maintenant
les trois équations
X = const,, const., y = const.;
en attribuant aux trois constantes arbitraires des valeurs
qui croissent ou diminuent uniformément par degrés
infiniment petits, on obtiendra trois Séries de surfaces
qui décomposeront l'espace en une série de parallélipipèdes
ayant pour côtés les éléments linéaires des trajectoires
qui résultent des intersections successives des
surfaces appartenant à des séries différentes. De cette
manière un point quelconque N de l'espace pourra être
considéré, en élargissant les notions élémentaires de la
'cristallographie, comme l'un des huit sommets d'une mole-
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 1 15
cule hexaédrique appartenant à un système cristallin défini,
quant à sa nature et quant à sa position par rapport aux
axes (x, y, z), paries équations (i) du numéro précédent.
Nous allons rechercher les expressions analytiques des divers
éléments de cette molécule cristalline.
5. .Éléments linéaires ; leur inclinaison mutuelle. Conditions
d'orthogonalité. Désignons par ds ds ds, les éléments
linéaires des trois trajectoires qui se coupent au
point N. On a évidemment
(dx\2 dy\' (t17.,)'
+
Les angles a, .(?,, -,, que font deux à deux les trois trajectoires
sont donnés, en fonctions de ()., p., y) , par les trois
équations suivantes
ca,
dx dx dy dy dz dz
dp. dv dp.ii; du CF,
cos . = ' dp.dy,
ds,ds,
Pour que le système (X, p., y) soit orthogonal, il faut et
il suffit que l'on ait en chaque point
'COS OC = (j, cos p 0, cos y = o.
cosy=...
4. Éléments superficiels; leur orientation; leur inclinaison
mutuelle. L'aire dc, de l'une des trois faces adjacentes
au point N a évidemment pour mesure le produit ds, ds,
sin cL. On a donc
-,_- d s,ds, \,1 r cos,a, =
+ cizrir (lx-Y+( (2-y 1L ±( dx y dy +d z
,Vr,dxf±cAyJIA.
L,dp. dp.) dv dv
d'où, en effectuant quelques réductions qui se présentent
d'elles-mêmes,
dx dy dy Idy dz dz dyy Idz dx dx dzy
(2) dcri,,-_-\,/ (c.7-1,.. -d-7;
TOME V, 1874. 8