Journal des mines

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
dans laquelle la fonction IF 0.) représente la loi d'attraction.
Une double intégration donne immédiatement
Si le milieu attractif, au lieu d'être homogène, possédait
en chaque point une densité inversement proportionnelle à
la distance de ce point au plan P, la résultante R s'exprimerait
comme il suit
R
,)o
0,y edvdz.
Lorsqu'on remplace 11? p.) par la formule précédente représente
le demi-volume de la sphère dont le rayon est X,
et. l'on trouve, en effet, en intégrant trois fois,
R X2dXdp. 21t 27:131
5
25. Action exercée sur un point d'une surface par les éléments
de volume situés de part et d'autre de cette surface. -
l'élément de volume M sur une sur-
Plaçons actuellement
face quelconque S, en un point où les rayons de courbure
principaux soient de même signe, et recherchons la résultante
des ttractions exercées sur l'élément M par les éléments
de volume situés de part et d'autre de cette surface.
11 suffit évidemment de s'occuper de la portion de l'espace
interceptée entre la surface et son plan tangent en M, puisque
l'action d'un espace limité par un plan se ramène à
une force normale dont on vient d'évaluer l'intensité. Nous
supposerons d'ailleurs que le rayon d'activité "),, est assez
petit pour que la surface S puisse être exactement représentée
en coordonnées p., ii.,z) , au moyen de l'équation (8)
du n° 12,
z, + V3-
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
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Les attractions exercées par un élément dU sur le point
matériel M donnent lieu à trois composantes, l'une normale
à la surface S et les deux autres tangentielles aux lignes de
courbure; la première de ces composantes s'exprime par
l'équation suivante
(i
R 1F(X)zedlIdz ;
les deux autres composantes Ts, Ty se déduisent de celle-là
en substituant alternativement x et y à z.
La composante R devient, après qu'on a intégré par rapport
à z,
,57-1F0,)
Si s'évanouit, on aura simplement
'Q,3)2
R 2: its(),)X"d), r4d
='«.1-` 2 H- 2-) ())ü
52A ,AB B
o y- ' '
Cette équation subsiste encore lorsque n'est pas nul, car
on a (no 12)
+
d d .1- A .
dx
d -
B
3 cosy.
dy
d
0 S 1J. SHI (A +
et il est facile de voir que l'intégration de o à 27Z élimine
tous les termes provenant de
Évaluons maintenant les composantes tangentielles. On
a d'abord
Tx = Ir(),)/X2 z2 cos t. d),dp.dz.
0 0
Si l'on remplace z, par
y
il est clair que les termes