Journal des mines

1 1 6
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
nouit que lorsque le système 0,, v., y) cesse de remplir l'une
des conditions nécessaires de l'unicursivité (no 1).
Analytiquement, le volume dU se compose de la réunion
de trois prismes, ayant
respectivement pour base les projections
de l'une quelconque des six faces, par exemple de
la face X const. sur les trois plans coordonnés, et pour
hauteur les variations que subissent les trois coordonnées
(x, y, z) de l'un des sommets de cette face lorsqu'on attribue
à X une variation dX.
Il peut arriver que deux des trois équations (i) ne renferment
que deux des trois variables 0,, p., y), p. et v par
exemple ; la valeur de dU devient alors, si z dépend seul
des trois variables,
dz (dx dy dy dx)
au=-dXdp.dv.
dv d p. dv
Il est facile de déduire de cette équation l'expression de
l'élément superficiel do10 Projetons, en effet, cet élément
sur le plan xy; nous obtiendrons ainsi un prisme que les
surfaces 1=-_ const. décomposeront en une infinité d'éléments
de volume ; chaque élément dU devra évidemment
satisfaire à l'équation ci-dessus ; mais, d'autre part, si l'on
introduit l'angle que l'élément de, fait avec plan xy, dU
dz
est mesuré par l'expression do-, . Z, ; l'identité nécessaire
des deux valeurs de clU permet d'obtenir do-1, en
ayant égard à la valeur de Z, donnée dans le numéro précédent.
6. Coordonnées planisphériques. Formules de transformation.
Particularisons, dans une certaine mesure, le système
(X, p., y) , en supposant que X désigne la distance à un
point fixe choisi comme origine des coordonnées, et p. l'orientation
variable d'un plan susceptible de tourner autour
d'un axe d'une direction arbitraire, passant par l'origine.
Les surfaces X const. seront alors une série de sphères
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 117
concentriques, et les surfaces p.= const., une série de plans ;
l'intersection commune dé ces plans ou l'axe du système
passera par le centre commun de toutes les sphères. La variable
y demeurant arbitraire, il existera une infinité de
systèmes de coordonnées satisfaisant à ces conditions ; nous
les désignerons, dans leur ensemble, sous le nom de systèmes
planisphériques.
Combiné avec une surface d'une série 'y = const., tout
système planisphérique fournit, par rapport à cette surface,
un système de coordonnées à deux dimensions qui peut,
dans certains cas, être d'une très-grande utilité. Les coordonnées
polaires sur un plan sont évidemment une application
particulière de cette méthode ; il en est de même du
système des longitudes et des latitudes sur la sphère, en
ce sens que les surfaces X = const. tracent des parallèles à
latitude constante ; X est donc une fonction de la latitude
seule et du rayon de la sphère.
Faisons coïncider l'axe Mz du système (x, y, z) avec l'intersection
commune des plans p. = const., et introduisons,
à titre de variable auxiliaire, la distance G d'un point de
l'espace à l'axe Mz. Nous aurons, quelle que soit la définition
de la troisième variable y,
x = G cos t.L, y = G sin p., G' = X' z2,
en admettant que le plan p.= o se confonde avec le plan xz.
Par rapport à l'une des surfaces de la série y = const. , ces
trois équations, combinées avec l'équation de la surface
mise sous la forme z = , v., y), pourront être considérées
comme les formules de transformation servant à passer du
système à deux dimensions p.) au système habituel (x, y) ,
et réciproquement.
Ces formules permettent d'exprimer comme il suit les
dx dx dx dy dG
neuf paramètres différentiels , dp. dy (1). dv