Journal des mines

1 1 4
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Désignons maintenant par X Y Mes cosinus des angles
que fait avec les trois axes (x, y, z) la normale à la
surface const. au point N. Ces trois cosinus seront déterminés
par les trois équations -suivantes
dx dy dz
c7 + Y' 7(7. 717.
dx dy dz
x 77, + Y, + Z, o,
X21 -E 7.21 1.
Il résulte des deux premières équations que X Y1, Z,
sont respectivement proportionnels aux binomes
dy dz dz dy dz dx dx dz dx dy dy dx
irti cl; dp. dv cl; p. cILA dv
On aura donc, en ayant égard à la valeur de da-1,
dy dz dz dy
dp dv dp.7
X, = dpdv,
do-,
Il est. à peine nécessaire de faire remarquer que les cosinus
X Y Z, mesurent respectivement l'inclinaison de
l'une 'des faces du parallépipède sur chacun des trois- plans
coordonnés du système (x, y, z). L'aire dc, s'obtient, comme
on pouvait s'y attendre, en réunissant les trois projections
de cette aire sur les plans coordonnés, de la même manière
que l'une des diagonales d'un parallélipède rectangle se
déduit des trois côtés du parallélipède.
L'angle L, que l'élément linéaire ds, forme avec la normale
à la surface )= est donné par l'équation
cos L
dx dy dz
X, Z,
d'A
ds,
y, = Z,
dA
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 115
Désignons par A, B, C les inclinaisons mutuelles des trois
faces adjacentes au- sommet N; nous aurons
cos A = X,Xs + Y2-7.3 + Z,Za.
Si l'on remplac X X3... par leurs valeurs, on trouvera sans
peine, toutes réductions faites, l'équation suivante
ds'ids,ds, cos p cos y cos cc
cos A = (cos p cosy cos a) =
do d o- sin i3 sin y
formule identique (sauf la substitution de 7C A à A) à
celle qui lie, clans un triangle sphérique, l'un des trois
angles aux trois côtés- du triangle. Par un simple changement
de lettres, on déduirait de là cos B et cos C.
11 est facile de voir que les trois cosinus des angles
a, p, T et les trois cosinus des angles A, B, C s'évanouissent
simultanément ; il en résulte que si les éléments linéaires
du parallélipipède infinitésimal se rencontrent orthogonalement,
il en est nécessairement de même des .éléments
superficiels', et réciproquement.
5. Éléments de volume. En donnant à ce parallélipipède
da-, pour base, et, par suite, c/s, cos L pour hauteur,
le volume dU du solide élémentaire s'exprimera ainsi qu'il
suit
On déduit de là
(3) dU = r-clx dz
Le coefficient différentiel.quimultiplie d),dp.dv n'est autre
chose que Ié déterminant D des neuf quantités dx,a!
di.f.
dx
(77, UT.. cl; dv
dXdpdv.
c'
dx dy
de sorte que l'élé
dX.
dli dcrids, cos L.
de d'y\
717;.- d2 v
dz f dx dy dy
(dz dx
\dLT. c7;
dx dz
dv
-** ment de volume dU ne s'éva