Journal des mines

te.
154 EMPLO DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Imaginons deux surfaces de révolution S et S' ayant le
même axe et un équateur commun, et analysons les attractions
qui s'exercent entre ces surfaces, de part et d'autre
de l'équateur, qu'on peut se représenter comme horizontal.
En vertu de la symétrie, toutes ces actions donneront lieu,
pour chaque surface, à une résultante verticale, appliquée
en un point quelconque de l'axe commun. Cette résultante
dépend évidemment de la nature particulière des surfaces S,
S'; toutefois, si le rayon d'activité des forces attractives est
assez petit pour qu'on puisse remplacer une section méridienne
quelconque par son cercle osculateur, elle ne dépendra
plus que de trois paramètres, savoir : le rayon a de
l'équateur et les rayons de courbure b et G' des deux méridiennes
qui viennent se rencontrer en chaque point de
l'équateur. C'est ce cas restreint que nous allons traiter
ici, au moyen d'un système particulier de coordonnées.
En un point M de l'équateur, imaginons trois axes rectangulaires
Mx, My, Mz, le premier, tangent à l'équateur,
le second, vertical et le troisième, normal aux deux surfaces.
La position d'un point n de la surface S pourra être définie
par sa latitude et sa longitude, c'est-à-dire par sa distance 1
à l'équateur, mesurée sur la méridienne nN, et par l'arc L
qui correspond, sur l'équateur, à l'angle des deux méridiens
nN et My. Si, par le point N, intersection du méridien
nN et de l'équateur, on conçoit trois axes rectangulaires
(x', y', z') placés, par rapport à cette nouvelle origine,,
comme le sont les trois axes (X, y, z) par rapport à l'origine
M, les deux systèmes de coordonnées seront liés par
les équations suivantes
L
x= a sin L
+ x' cos .' z' sin
I
,c/ a a'
= y',
Z= a (i cos a) + x' sin +
z' cos a.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 155
D'autre part on a, en identifiant la méridienne Nn avec son
cercle osculateur,
= o, y'
, P
z = 26
Il suffit d'éliminer y', z' entre ces six équations pour
obtenir les formules de transformation relatives aux deux
systèmes (Je, y, (L, 1) . Nous écrirons ces formules ainsi
qu'il suit
LP
6a2 2ab'
P
t
L'
z = 20 26
Les lignes L = const., 1 =-_ const. décomposent la surface
S en éléments superficiels dont l'étendue, déduite de
l'équation (2), est
da = (1 dldL.
2ab
Si, au lieu de la latitude 1, on introduit, à titre de variable
indépendante, une fonction quelconque w de cette
latitude, on aura
P ) dl
wdo-=(1dL.
206 aw
Lorsque w se confond avec la hauteur y, on a
de = ec) dydL,
en désignant par -c la différence -b
Nous définirons d'une 'manière analogue la situation