Journal des mines

en posant
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
f = fn=
2 (n+ 1)(2n + 1.) r'(n + 1) 2'":
Si est > D, on aura, en désignant par f',2 le coefficient
(n +1)(2/2 + 1)
n (2n-1) f
2D
R -1-13! = f + 24, log. hyp. -D-
D
57,
rn
r, (2n+ 1)
Les deux séries qui ont respectivement pour terme général
f et ri sont l'une et l'autre convergentes. En effet,
on a
et, par suite,
F(ni)
(1 1)- = 1 n (n)
vc° r (2n + i)
(2n-1)1*(n+ 1) 2"-I =
Sil' on élève au carré chacun des termes de cette dernière
série, on obtiendra une nouvelle série plus rapidement
convergente, dont la sommation donnera un résultat inférieur
à 2 ; or le terme général F de cette nouvelle série
est lié à f et à r, par les équations suivantes
4(n+ 1) (2n+ i) 4n ,
Fn = (2n- 1)'
=
2n 1 fn.
On a donc, lorsque n est égal ou supérieur à l'unité,
> 2/74 Fn > 2rn.
Par là on voit que f et 1 f, sont deux quantités
finies et nécessairement inférieures à l'unité.
"
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Lorsque le rapport devient infini, R' est négligeable
D
vis-à-vis de R. et l'on a simplement
f
21. Action réciproque de deux portions d'une surface cylindrique
séparées par un plan parallèle à l'axe. Supposons
maintenant que les deux portions d'une surface cylindrique
dont on veut évaluer les attractions réciproques
soient situées de part et d'autre d'un plan sécant P parallèle
à l'axe du cylindre. Supposons, pour fixer les idées,
que cet axe soit horizontal, .et concevons, par un point M
de l'une des arêtes, trois axes rectangulaires Mx, My, Mz,
le premier, parallèle à l'axe du cylindre, le second, vertical
il suffira, pour que le troisième soit normal à la surface, de
placer l'origine M dans le plan horizontal qui contient l'axe
du cylindre. La position d' un point quelconque n du cylindre
peut se définir, soit au moyen des coordonnées (x,
y, z), soit par l'abscisse x et l'arc MN = p qui sépare de
l'origine M la projection N du point n sur le plan Myz. Le
point n .peut être regardé comme le centre d'un élément
superficiel dont l'étendue, en coordonnées (p, x), est adcpdx.
L'action de deux éléments analogues n et n' situés de part
et d'autre du plan P produira trois composantes parallèles
aux trois axes; la composante verticale est seule à
considérer ici, à cause de la symétrie, qui annule en fin de
compte l'ensemble des composantes horizontales, et cette
composante verticale est donnée par l'équation
F a3II(X) sin sin y' dydy,dxdx,
Nous pouvons, puisque la position de l'origine est arbitraire,
supposer que le plan Iyz contienne le point n' ; par
TOME V, 1874.
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