Journal des mines

2 8 EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
et B; si A et B ont des signes contraires, ces deux constantes
expriment, en grandeur absolue, les deux valeurs
maxima que y puisse prendre. C'est en raison de ces propriétés
que les paramètres A et B sont appelés les rayons
de courbure principaux de la surface ; et c'est pour les
mêmes motifs qu'on désigne sous le nom de lignes de courbure
les lignes dont la courbure comparée à celle des
autres sections normales est, en chaque point, un maximum
ou un minimum.
Recherchons maintenant la signification géométrique de
la fonction
On sait que les rayons de courbure Principaux sont liés
clz, d z
aux paramètres par une équation du second
degré qui équivaut aux deux équations suivantes
[i (clz)21 cl2z dz dz r (dz)21d2z
y dx2 dx dy dxdy L
dz d
[j+ (dx) (cV1)
d'z cl'z ( d'z
dx' clxclyi
-AT3 = [,_,_ (cLz_ ( dz'\21
(1,x) \-iy)
En différentiant chacune de ces équations par rapport à x,
dz dz d2x,
et en faisant ensuite évanouir dx' dy et dxdy afin de rentrer
dans le système de coordonnées déterminé par les lignes de
courbure et la normale, on aura
dl d
A B
+ 7/x: =C +E
d A 1
di- B C E
dcr
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. 129
De ces équations on déduit, lorsque A est différent de B,
d
d -1
C = dx' E = dx
On verrait de même que l'on a, toujours dans l'hypothèse
B A,
de là -
d d 1--
A
D dydy
1
d - d! i
d
A B
.------ c-F- + 3 cos' 1.t sin p.+ 3 cos IL sin'
laY dx
d -1
sin-
. dy
Sur la sphère, s'évanouit en même temps que les parai
1
d d - d1 d1
B
mètres différentiels
dx dx dy quelle que soit
dy
l'orientation des sections normales Mx, My. D'autre part,
la sphère est, comme on sait, la seule surface parmi celles,
dont l'aire n'est pas nulle, pour laquelle, en chaque point,
les rayons de courbure cJes diverses sections normales
soient identiques. Il résulte de là que l'équation (8) est applicable
à une surface continue quelconque, et qu'elle ne
peut être en défaut que pour les ombilics, lorsqu'il en existe
sur une surface, c'est-à-dire pour les points singuliers où
les rayons de courbure principaux
deviennent identique.
13. Élément superficiel d'une surface quelconque en coordonnées
planisphériques. Reprenons l'équation
TOME V, 1874.
idzy
_L_ (dz\' z dz
715 2 z2 dXdp..
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