Journal des mines

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Par l'un des points de l'arête horizontale qui sépare
deux parties du cylindre, menens trois axes rectangulaires
Mx, Mg, Mz, dont le premier coïncide avec cette arête, le
second avec la direction de la ligne de plus grande pente,
le troisième avec la normale au cylindre. Soit
un arc de la ligne de plus grande pente, au-dessous de
Mx; n le centre d'un élément superficiel appartenant à
l'autre partie de la surface. Si l'on transporte en M un élément
superficiel M'M", l'inclinaison de la tangente à la
ligne de plus grande pente subira une variation y proportionnelle
à l'arc MM'. L'attraction exercée par l'élément n
sur HM" ne sera pas modifiée dans son intensité si,
en même temps qu'on ramène 11/EM" en M, on fait subir
à l'élément n, sur la ligne de plus grande pente qui
contient le centre de cet élément, un déplacement nn'
d'égale étendue; la direction de la force attractive sera
seule changée. Dans sa nouvelle direction, cette force attractive
donnerait une composante verticale (la seule dont
on ait à tenir compte) exprimée par D (),) cos5 -z sin 0)
dc.M111'.dx', en désignant par (x, y, z) les coordonnées
du point n', par ) la distance n'M TM', par 0 l'angle que
l'axe My fait avec la verticale, par d7 l'étendue de l'élément
superficiel n' et par dx` un élément de l'arête Mx.
Pour restituer à la force attractive F sa véritable direction,
il suffira, en raison de la symétrie de la figure, de substituer,
dans l'expression précédente, 0 y à 0; on peut, en
même temps, remplacer MM' par ady et faire dx1....=1 (ce
qui équivaut à une première intégration, entre les limites
xr= o, x'=-1) ; on aura ainsi .
F = cos (0 + cf) + -e)- sin (0 ?)] do-4.
Tous les éléments de l'arc
donnereint lieu à
une composante identique, à la valeur près de l'angle y,
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lequel doit varier entre zéro et la limite y, déterminée par
l'équation
y = a sin ch.
D'après cela, la résultante qui correspond à l'unité linéaire
s'exprimera comme il suit, en introduisant les Coordonnées
planisphériques z),
B. -------- a-'11( SPI"
o Jo 0
R -= a
[y cos (O (P)
sin'p. COS2V.
z sin (0+ ?)] dXdv.dy.
En intégrant tout -d'abordpar rapport à y, on obtient
II(X)
X' sin't,L cos2v.
[y sin y, +
z(1 C°S )] cos 0 [el cos pi) sin ?i] sin Oldldp..
De là, en remplaçant sin y, par cos y, par
a
\/),'z° sin EL, on déduit
R = 2a cos
IIKzdXclv.
0 0 sin2p.COSL
/ A' sm2p. cos'EL
Après avoir substitué à z sa valeura 1 a'
sin =Eh
l'intégration par rapport à F. s'effectue sans difficulté et
l'on retrouve la résultante R obtenue tout à l'heure.
22. Attraction réciproque de deux parties d'une surface
sphérique. Considérons deux parties d'une sphère séparées
par un plan sécant que nous supposerons horizontal.
En un point quelconque du parallèle commun, concevons
-a
et y par