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3.1.1 Modello di cristallizzazione dei polimeri
Considerando un fuso incomprimibile, la tensione totale indotta dal raffreddamento del flusso può
essere scritta come:
T = Ta
+ Tsc
dove Ta e Tsc rappresentano rispettivamente le componenti di extra-stress relative al
raffreddamento dalle fasi amorfa e cristallina. Una componente puramente Newtoniana deve
essere aggiunta pari a:
T = 2ηD
η
dove η rappresenta la viscosità di taglio e D il tensore relativo alla velocità di deformazione.
Il tensore totale T deve soddisfare l’equazione del momento che in una condizione quasi-statica
di flusso in assenza di forze di volume può essere scritta come:
− ∇p
+ ∇T
+ 2 η ∇D
= 0
dove p rappresenta il valore locale di pressione.
Il tensore T a viene calcolato nel modo seguente:
T a
⎡ 3 ⎤
= GE⎢
C − I ⎥
⎣(
1−
x)
⎦
dove I rappresenta la matrice unitaria, G il modulo in assenza di flusso, x il grado di
trasformazione ed E un fattore di forza tra le catene calcolato come:
1
E =
trC
1−
dove No rappresenta il numero statistico di legami molecolari calcolato per il metariale considerato.
Il tensore C viene invece ottenuto dalla seguente equazione:
1 ⎡
3 ⎤ ⎡ 3 ⎤
λ aC
+ ( 1 )
= 0
3(
1 )
⎢ − α I + α EC
( 1 )
⎥E
⎢ C − I
− x
( 1 )
⎥
⎣
− x ⎦ ⎣ − x ⎦
.
con α coefficiente che dipende dall’energia di attivazione.
Il tensore T sc è calcolato secondo la seguente formula:
T
sc
No
⎛ I
= 3G⎜ Z − + 2λ
sc
u
⎝ 3
⎞
T ( ∇v
) : < uuu
> ⎟
⎠
dove G rappresenta il modulo di elasticità tangenziale, v il campo di velocità, u vettore unitario
lungo la direzione di cristallizzazione e la costante λsc che dipende dal grado di trasformazione e
dalla temperatura T secondo la relazione:
λ , T ) = λ ( T ) exp( Fx)
≅ cλ
( T ) exp( Fx)
sc ( x sc,
0
a
dove λa rappresenta il tempo di rilassamento.
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