Metakompetenzen und Kompetenzentwicklung - ABWF

�f (�q, �p, t) = f (�q, �p, t) w (�q, �v; {x}) – �v �f – �U (�q) �f + ��� mγ (�q, �v) �vf + Dv �f
�t ��q ��q m��v ��v ��v
(7)
Im Folgenden wollen wir diese Gleichung diskutieren. Die zeitliche Veränderung in
der Verteilung von Agenten über der Landschaft (linker Term in Gleichung 7) wird
durch vier verschiedene Prozesse gesteuert. Diesen entsprechen die vier Terme auf
der rechten Seite der Gleichung. Im Vergleich mit dem ersten Modell (in dem die Bewertungsfunktion
w = E – und die Diffusionsrate D die Veränderung bestimmt)
erscheinen hier zwei neue Funktionen: das „Potential“ U (�q) und die „aktive Reibung“
γ (�q, �v). Im Vergleich zu der Standard-Fokker-Planck-Gleichung, die häufig in physikalischen
Anwendungen benutzt wird (Ebeling/Sokolov 2005), ist der erste Term
der rechten Seite in (7) neu. Auf diese Art und Weise stellt unsere Basisgleichung
(7) sowohl die Fisher-Eigen- als auch die Fokker-Planck-Gleichung. Für w = 0 erhalten
wir die Standard-Fokker-Planck-Gleichung. Wenn wir für w den Ausdruck w =
E – einsetzen wie in unserem früheren Modell, erhalten wir eine Dynamik, bei
der zusätzlich zu der Bewertung durch E eine Potentialfunktion U in die Bewertung
eingeht. Während der erste Term der linken Seite von (7) eine Besiedlung der Maxima
von E favorisiert, unterstützen die anderen Terme eine Besiedlung um die negativen
Maxima (– U (�q)). Beide Tendenzen ergänzen einander und unter der Annahme
U (�q) = const (– E (�q)) beeinflussen sie das System in dieselbe Richtung. Der Term mg
(�q, �v) auf der rechten Seite repräsentiert das Vorhandensein einer (negativen) aktiven
Kraft. Diese Kraft wirkt für manche Geschwindigkeiten in derselben Richtung wie
die Geschwindigkeit, d. h. die Bewegung wird beschleunigt.
Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Dynamik jetzt weit reicher ist
als im ersten Fall einer rein ortsabhängigen Dynamik. Man kann zeigen, dass
die rein ortsabhängige Dynamik als Grenzfall der Phasenraumdynamik folgt. Um
diesen Grenzfall zu skizzieren, integrieren wir Gleichung (7) über die Geschwindigkeiten.
Unter der Voraussetzung, dass durch Gleichung (2) gegeben (rein ortsabhängig)
ist, folgt die Kontinuitätsgleichung
����
x (�q, t) = (E (q) – ) x (q, t) – ��J (�q, t)
�t
wobei Dichte und Fluss durch die folgenden Gleichungen definiert werden
x (�q, t) = ∫f (�q, �v, t) d�v (9)
�J (�q, t) = ∫�vf (�q, �v, t) d�v (10)
Um eine geschlossene Gleichung für x (�q, t) zu erhalten, muss der Strom �J (�q, t)
eliminiert werden. Das gelingt ohne Weiteres nur im Grenzfall konstanter und
großer Reibung γ (�q, �v) = γ 0 = const, γ 0 → ∞. Dem allgemeinen Schema der kine-
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(8)