Metakompetenzen und Kompetenzentwicklung - ABWF

7.4.1 „Wendezeiten“ – Mittlere Übergangszeiten aktiver,
unabhängiger Agenten durch ein Tal in bistabilen
Potentialen
Wir starten erneut mit dem Modell der aktiven Brown’schen Agenten, deren Ort
im Merkmalsraum und Geschwindigkeit durch den folgenden Satz von gekoppelten
Differentialgleichungen beschrieben wird:
�x 1 = v1 �x 2 = v2 �v 1 + 1 ∂U = – γ (v) v1 + 2D ξ1 (t)
m ∂x1 �v 2 + 1 ∂U = – γ (v) v2 + 2D ξ2 (t)
m ∂x2 Dabei stellt U (x 1 , x 2 ) das Potential dar, das, wie in Kapitel 7.3.1 eingeführt, mit
der Bewertungslandschaft über ein negatives Vorzeichen verbunden ist. D. h. wo
die Bewertungslandschaft ihre Maxima hat, hat das Potential ein Minimum. Der
zweite Term der linken Seite beschreibt die konservativen Kräfte, die die Agenten
auf die Berge der Bewertungslandschaft bzw. in die Täler des Potentials treiben.
Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt die sogenannte dissipative Kraft,
das kann eine normale, passive Reibung sein – dann ist γ = γ 0 = const oder aktive
Reibung, d. h. ein zusätzlicher Antrieb. Für den Fall der aktiven Reibung lässt sich
für γ nach Gleichung (20) durch Einführung neuer Variablen die folgende Formel
entwickeln:
γ (v) = γ0 1 – δ
1 + (v2 1 + v2 2 ) / v2 d
Wir betrachten im Folgenden eine Landschaft, die zwei gleich hohe Maxima aufweist.
Das dazugehörige bistabile Potential hat dann die Form
U (x, y) = a 1 z4 – 1 z2 – cz + 1 �2 (x – y) 2
4 2 2
wobei z = (x + γ)/2 ist, d. h. die Potentialtöpfe liegen auf der Diagonalen. Der Parameter
c bestimmt die Asymmetrie in der Tiefe der Potentialtöpfe. Bei c = 0 sind
beide Töpfe gleich tief, d. h. beide Gipfel gleich hoch. Die Höhe der Barriere δU
(Tiefe des Tals) zwischen beiden Minima (Maxima) ergibt sich zu a/4 (Abbildung
34).
Aus Gleichung 22, 23 und 24 ergeben sich für die Simulationen die folgenden
Parameter:
(22)
(23)
(24)
95