Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Satz 3.70 (Existenz, Eindeutigkeit und Fehlerabschätzung). Es sei w(x) ≥ 0 fast überall.
Dann lassen sich mit Hilfe des gewichteten Skalarprodukts
(f, g) w :=
∫ b
a
ω(x)f(x)g(x) dx, w(x) > 0.
der Satz 3.60 (inklusive der darin verwendeten Sätze) und Satz 3.62 analog beweisen.
Beweis: Nach Verifizierung der Skalarprodukteigenschaften von (f, g) w , übertrage man
die Beweise der Sätze 3.60 und 3.62 unter Hinzunahme der Gewichtsfunktion. □
Bemerkung 3.71 (Normierung des Integrationsintervalls). Die Gauß-Quadratur mit
Legendre-Polynomen und Tschebyscheff Polynomen ist lediglich auf dem Intervall [−1, 1]
definiert. Allerdings bedeutet dies keine Einschränkung für den allgemeinen Fall [a, b].
Jedes endlich-dimensionale Intervall [a, b] kann durch die Transformation
x = 2 t − a − 1, t ∈ [a, b]
b − a
in [−1, 1] überführt werden. Mit der Wahl x ∈ [−1, 1] wird dann die Integration in [−1, 1]
durchgeführt, um anschließend durch die Rücktransformation
t =
(x + 1)(b − a)
2
die (berechneten) Werte für t ∈ [a, b] zu erhalten.
+ a, x ∈ [−1, 1]
Korollar 3.72 (Transformation des Integrationsintervalls). Mit den Voraussetzungen aus
Bemerkung 3.71 gilt für das (exakte) Integral
I(f) =
∫ b
a
f(t) dt = b − a
2
∫ 1
−1
[ (x + 1)(b − a)
f
2
Die Quadraturformel zur Integration von I(f) lautet dann
I n (f) = b − a
2
n∑
[ (xk + 1)(b − a)
a k f
2
k=1
]
+ a dx.
]
+ a .
3.5.4 Romberg-Quadratur
Die Idee der Richardson Extrapolation in Abschnitt 3.4, Approximationsprozesse hoher
Ordnung zu erzielen, die auf Basismethoden niedriger Ordnung basieren, wird hier auf
die numerische Quadratur angewendet. Konkret werden wir die summierte Trapezregel
zur Extrapolation nutzen. Die Trapezregel gehört zu den sehr einfachen Verfahren mit
niedriger Ordnung. Wir fassen die wesentlichen Ergebnisse aus Abschnitt 3.5.2 zusammen.
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