Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

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4 Numerische Lineare Algebra Mehrfache Anwendung von Eliminationsmatrizen führt zu der Darstellung: R = A (n−1) = F (n−1) A (n−2) = F (n−1) F (n−2) A (n−3) = } F (n−1) {{ · · · F (1) } A (0) = F A. (4.1) =:F Matrizen mit der Gestalt der Eliminationsmatrizen F (i) heißen Frobeniusmatrix. Es gilt der folgende Satz: Satz 4.22 (Frobeniusmatrix). Jede Frobeniusmatrix F (i) ∈ R n×n ist regulär und es gilt: ⎛ 1 F (i) := ⎜ ⎝ ⎞ . .. 1 . −g .. i+1 . . .. ⎟ ⎠ −g n 1 ⎛ 1 ⇒ [F (i) ] −1 := ⎜ ⎝ Für zwei Frobeniusmatrizen F (i1) und F (i2) mit i 1 < i 2 gilt: ⎛ 1 . .. 1 −g (i 1) i 1 +1 1 F (i1) F (i2) = F (i1) + F (i2) . − I = . .. . 1 . −g (i 2) i 2 +1 ⎜ ⎝ . . −g (i 1) n −g (i 2) ⎞ . .. 1 . g .. . i+1 . . .. ⎟ ⎠ g n 1 ⎞ . .. . .. ⎟ ⎠ n 1 Beweis: Nachrechnen! □ Bei der Multiplikation von Frobeniusmatrizen ist darauf zu achten, dass diese nicht kommutativ ist. Es gilt: F (i 2) F (i 1) ≠ F (i 1) + F (i 2) − I für i 1 ine einfache Verallgemeinerung ableiten: F (i 1) F (i 2) F (i 3) = F (i 1) (F (i 2) + F (i 3 − I)F (i 1) F (i 2) + F (i 1) F (i 3 − F (i 1) = F (i 1) + F (i 2) − I + F (i 1) + F (i 3) − I − F (i 1) = F (i 1) + F (i 2) + F (i 3) − 2I. 122
4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme Wir setzen nun (4.1) fort und mit F −(i) := [F (i) ] −1 gilt bei Verwendung von Satz 4.22 zunächst, dass F als Produkt von regulären Matrizen selbst regulär ist. Also folgt: A = F −1 R = [F (n−1) · · · F (1) ] −1 R = } F −(1) · ·{{ · F −(n−1) } R. =:L Die Matrix L ist nach der Verallgemeinerung von Satz 4.22 eine untere Dreiecksmatrix mit Diagonaleinträgen 1: Wir fassen zusammen: ⎛ ⎞ 1 g (1) 2 1 g (1) L = 3 g (2) 3 1 g (1) 4 g (2) 4 g (3) 4 1 ⎜ . ⎝ . . .. . .. . .. ⎟ ⎠ g n (1) g n (2) · · · · · · g n (n−1) 1. Satz 4.23 (LR-Zerlegung). Es sei A ∈ R n×n eine quadratische, reguläre Matrix. Angenommen alle bei der Elimination auftretenden Diagonalelemente a (i−1) ii seien ungleich Null. Dann existiert die eindeutig bestimmte LR-Zerlegung in eine rechte obere reguläre Dreiecksmatrix R ∈ R n×n sowie in eine linke untere reguläre Dreiecksmatrix L ∈ R n×n mit Diagonaleinträgen 1. Die Aufwand zur Durchführung der LR-Zerlegung beträgt arithmetische Operationen. 1 3 n3 + O(n 2 ) Beweis: (i) Eindeutigkeit. Angenommen, es existieren zwei LR-Zerlegungen A = L 1 R 1 = L 2 R 2 ↔ L −1 2 L 1 = R 2 R −1 1 . Das Produkt von Dreiecksmatrizen ist wieder eine Dreiecksmatrix, also müssen beide Produkte Diagonalmatrizen sein. Das Produkt L −1 2 L 1 hat nur Einsen auf der Diagonale, also folgt L −1 2 L 1 = R 2 R1 −1 = I, und somit L 1 = L 2 und R 1 = R 2 . (ii) Durchführbarkeit. Jeder Schritt der Elimination ist durchführbar, solange nicht durch a (i−1) ii = 0 geteilt werden muss. Die Matrix F ist per Konstruktion regulär und somit existiert auch die Matrix L. (iii) Aufwand. Im i-ten Eliminationsschritt A (i) = F (i) A (i−1) 123
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Inhaltsverzeichnis 4.2 Lösungsmeth
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Literaturverzeichnis iv
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1 Einleitung Die Teilaspekte dürfe
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1 Einleitung Definition 1.6 (Landau
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2 Nullstellenbestimmung • Im Sinn
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2 Nullstellenbestimmung 2.4.2 Das N
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2 Nullstellenbestimmung 46
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3 Interpolation und Approximation V
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Index Intervallschachtelung, 24 Inv
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