Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
zu gegebenen Messwerten. Es seien φ 0 (x) ≡ 1, φ 1 (x) = x dann ergibt sich das folgende
lineare Gleichungssystem:
( ) ( )
(φ0 , φ 0 ) 2 (φ 0 , φ 1 ) 2 α0
=
(φ 1 , φ 0 ) 2 (φ 1 , φ 1 ) 2 α 1
( ) ( ∑ ) ( ) ( ∑ )
(y, φ0 ) 2 m xi α0 yi
⇐⇒ ∑ ∑
(y, φ 1 ) 2 , xi x
2 = ∑
i α 1 xi y i .
Dieses System ist regulär, falls m ≥ 2 und es mindestens zwei Stützwerte x i ≠ x j gibt.
Wir wenden die lineare Ausgleichsrechnung auf konkrete Messdaten an:
Beispiel 3.84 (Fortsetzung der Mensazählung). In der Mensazählung haben wir zu gewissen
Uhrzeiten x i , i = 0, . . . , 7 (natürlich außerhalb der Vorlesungszeiten) die Anzahl der
Personen y i , i = 0, . . . , 7 in der Mensa gezählt. Die folgenden Messdaten haben wir somit
erhalten:
x i [hour] = 10.30, 10.35, 10.45, 11.00, 13.00, 13.02, 13.14, 13.15,
y i [Anz. Pers.] = 60, 70, 107, 90, 300, 325, 325, 350.
Dann ist m = 8 und ∑ x i = 94.41 und ∑ x 2 i = 1.1275e + 03 und ∑ x i y i = 2.0455e + 04.
Durch lösen des linearen Gleichungssystems erhalten wir die beiden Unbekannten
α 0 = −904.6498, α 1 = 93.8905.
Damit erhalten wir die lineare Ausgleichsgerade (illustriert in Abbildung 3.11)
g(x) = −904.6498 + 93.8905x.
Verallgemeinerung der Gauß-Approximation Die diskrete Gauß-Approximation sowie
die Approximation von Funktionen lassen sich durch die Verwendung von gewichteten
Skalarprodukten und entsprechenden gewichteten induzierten Normen vereinfachen.
Die Verwendung eines Gewichtes dient dazu, die Approximationsgenauigkeit der Gauß-
Approximierenden an den Intervallenden zu verbessern. Für jedes integrable und positive
ω(x) > 0 ist durch
(f, g) ω :=
∫ b
a
f(x)g(x)ω(x) dx,
wieder ein Skalarprodukt mit entsprechender Norm
‖f‖ ω = (f, f) 1 2 ω ,
gegeben. Wir die Gewichtsfunktion w(x) = 1 √
1−x 2
verwendet, so legt die Bestapproximation
ein größeres Gewicht auf die Intervallenden. Die hieraus abgeleiteten orthonormalen
Polynome sind die bereits diskutierten Tschebyscheff-Polynome.
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