Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Beispiel 4.47 (Nachiteration). Wir führen Beispiel 4.30 fort. Zur Approximation ˜x 2 berechnen
wir den Defekt d(˜x 2 ) mit doppelter Genauigkeit (hier sogar exakt):
⎛ ⎞
⎛ ⎞
0.35
0.001
⎜ ⎟
⎜ ⎟
˜x 2 = ⎝−0.98⎠ , d(˜x 2 ) = b − A˜x 2 = ⎝ 0 ⎠ .
2.16
−0.002
Mit dreistelliger (also hier einfacher) Genauigkeit lösen wir zunächst ỹ = P d(˜x) mit
P d(˜x) = (−0.001, −0.002, 0) T und erhalten:
⎛ ⎞
0.001
⎜ ⎟
ỹ = ⎝−0.00165⎠ .
0.000611
Rückwärtseinsetzen R ˜w = ỹ mit dreistelliger Genauigkeit ergibt:
⎛
⎞
−0.0000545
⎜
⎟
˜w = ⎝ −0.000227 ⎠ .
−0.000466
Wir berechnen die korrigierte Lösung ˆx := ˜x + ˜w mit sechsstelliger (also doppelter) Genauigkeit
zu:
⎛ ⎞
0.349946
⎜ ⎟
ˆx = ⎝−0.980227⎠ .
2.15953
Diese verbesserte Lösung ist mit dem relativen Fehler
‖ˆx − x‖ 2
‖x‖ 2
≈ 0.000017 · 10 −5
versehen. Der Fehler konnte durch einen Nachiterationsschritt um zwei Größenordnungen
verbessert werden!
Mit der gestörten LR-Zerlegung ˜L ˜R ≈ A lässt sich ein Nachiterationsschritt kompakt
schreiben als:
x (i+1) = x (i) + Cd(˜x (i) ), C := ˜R −1 ˜L−1 .
Dabei ist die Matrix C eine Approximation zur Inversen von A. Es stellt sich die Frage, ob
die Nachiteration auch dann ein konvergentes Verfahren bildet, wenn ˜C eine noch gröbere
Approximation der Inversen ˜C ≈ A −1 ist. Dabei könnte man an Approximationen denken,
die auf der einen Seite weiter von A −1 entfernt sind, dafür aber wesentlich einfacher, z.B.
in O(n 2 ) Operationen zu erstellen sind. Dieser Ansatz ist Ausgangspunkt von allgemeinen
Defektkorrektur-Verfahren, wie wir sie in Kapitel 5 untersuchen werden.
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