Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Ein Vektorraum mit Norm heißt normierter Raum. Häufig verwendete Normen sind die
Maximumsnorm ‖ · ‖ ∞ , die euklidische Norm ‖ · ‖ 2 sowie die l 1 -Norm ‖ · ‖ 1 :
‖x‖ ∞ := max
i=1,...,n |x i|, ‖x‖ 2 :=
( n ∑
x 2 i
i=1
) 1
2
, ‖x‖ 1 :=
n∑
|x i |.
i=1
Im Vektorraum R n sowie in allen endlich-dimensionalen Vektorräumen gilt der folgende
wichtige Satz:
Satz 4.3 (Normäquivalenz). Zu zwei beliebigen Normen ‖ · ‖ sowie ‖ · ‖ ′ im endlichdimensionalen
Vektorraum V existiert eine Konstante c > 0 so dass gilt:
1
c ‖x‖ ≤ ‖x‖′ ≤ c‖x‖ ∀x ∈ V.
Dieser Satz bedeutet, dass alle Normen in endlich-dimensionalen Vektorräumen äquivalent
sind. Da Normen wesentlich für den Konvergenzbegriff sind, bedeutet dieses Resultat, dass
eine Folge x n → x, welche bzgl. einer Norm ‖ · ‖ konvergiert auch bzgl. jeder anderen
Norm ‖ · ‖ ′ konvergiert. Auch dieser Zusammenhang ist typisch für endlich-dimensionale
Räume und gilt z.B. nicht in Funktionenräumen. So gilt z.B. für die Funktionenfolge
f n (x) = exp(−nx 2 ) :
‖f n − 0‖ L 2 ([−1,1]) → 0, jedoch ‖f n − 0‖ ∞ ↛ 0,
bezüglich der L 2 -Norm sowie der Maximumsnorm:
(∫ 1
‖f‖ L 2 ([−1,1]) :=
−1
f(x) dx) 1 2
, ‖f‖∞ := sup |f(x)|.
x∈[−1,1]
Neben Normen spielen Räume, in denen ein Skalarprodukt existiert eine wichtige Rolle:
Definition 4.4 (Skalarprodukt). Eine Abbildung (·, ·) : V × V → K heißt Skalarprodukt,
falls sie die folgenden Eigenschaften besitzt:
1. Definitheit: (x, x) > 0 ∀x ∈ V, x ≠ 0,
(x, x) = 0 ⇒ x = 0
2. Linearität: (x, αy + z) = α(x, y) + (x, z) ∀x, y, z ∈ V, α ∈ K,
3. Symmetrie: (x, y) = (y, x) ∀x, y ∈ V.
In reellen Räumen gilt die echte Symmetrie (x, y) = (y, x). Das bekannteste Skalarprodukt
ist das euklidische Skalarprodukt für Vektoren x, y ∈ R n .
n∑
(x, y) 2 = x T y = x i y i .
i=1
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