Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
mit Zwischenstellen ξ i ∈ [y i−1 , y i ]. Das Ergebnis folgt nun mit (b − a) = ∑ i h i sowie durch
Übergang zum Maximum.
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Mit der summierten Boxregel haben wir also sogar für nur stückweise stetig differenzierbare
Funktionen eine konvergente Quadraturformel für h → 0. Entsprechend gilt für die
Trapezregel:
Satz 3.52 (Summierte Trapezregel). Es f ∈ C 2 [a, b] sowie durch (3.16) eine äquidistante
Zerlegung des Intervalls gegeben. Für die summierte Trapezregel
gilt die Fehlerabschätzung:
Ih(f) 1 = h m∑
(f(y i−1 ) + f(y i )) = h m−1
2
2 f(a) + h ∑
f(y i ) + h 2 f(b)
i=1
i=1
|I(f) − I 1 h(f)| ≤ b − a
12 h2 max
[a,b] |f ′′ |.
Beweis: Übung!
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Die summierte Trapezregel ist besonders attraktiv, da sich die Stützstellen überschneiden:
der Punkt y i ist sowohl Stützstelle im Teilintervall [y i−1 , y i ] als auch [y i , y i+1 ] und f(y i )
muss nur einmal bestimmt werden. Darüber hinaus eignet sich die summierte Trapezregel
als Grundlage von adaptiven Quadraturverfahren, bei denen die Genauigkeit Stück für
Stück dem Problem angepasst wird: wurde auf einer Zerlegung zur Schrittweite h die Approximation
I 1 h (f) bestimmt, so kann die Genauigkeit durch Intervallhalbierung I1 h/2 (f)
einfach gesteigert werden. Alle Stützstellen f(y i ) können weiter verwendet werden, die
Funktion f(x) muss lediglich in den neuen Intervallmitten berechnet werden. Ein entsprechendes
Resultat gilt für die summierte Simpsonregel:
I 2 h(f) =
m∑
i=1
(
h
f(y i−1 ) + 4f
6r
= h 6 f(a) + m ∑
i=1
h
3 f(y i) +
( yi−1 + y i
m∑
i=1
2
) )
+ f(y i )
( )
2h
3 f yi−1 + y i
+ h 2 6 f(b).
Bei geschickter Anordnung sind nur 2m + 2 statt 3m Funktionsauswertungen notwendig.
3.5.3 Gauß-Quadratur
Wie bereits diskutiert, sind die interpolatorischen Quadraturformeln
n∑
I (n) (f) = α i f(x i )
i=0
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