Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2.4 Das Newton-Verfahren in 1D
Die Nullstelle ˆx von f ist demnach die einzige in [a, b].
Als zweites Hilfsmittel nutzen wir die Taylor-Formel mit Restglied zweiter Ordnung:
Wir setzen
∫ 1
f(y) = f(x) + (y − x)f ′ (x) + (y − x) 2 f ′′ (x + s(y − x))(1 − s) ds. (2.4)
∫ 1
R(y; x) := (y − x) 2 f ′′ (x + s(y − x))(1 − s) ds = f(y) − f(x) − (y − x)f ′ (x). (2.5)
0
Unter Berücksichtigung der Voraussetzung für f ′′ erhalten wir
∫ 1
|R(y; x)| ≤ M|y − x| 2 (1 − s) ds = M 2 |y − x|2 .
Für x ∈ K ρ (ˆx) nutzen wir die Iterationsfunktion (5.2), so dass gilt
Mit (2.5) und dort y = ˆx folgt:
Zusammenfassend erhalten wir
0
F (x) − ˆx = x − f(x)
f ′ (x) − ˆx = − 1 ( f(x) + (ˆx − x)f ′
f ′ (x) ) .
(x)
−R(ˆx; x) = ( f(x) + (ˆx − x)f ′ (x) ) .
0
|F (x) − ˆx| ≤ M 2m |x − ˆx|2 ≤ M 2m ρ2 < ρ. (2.6)
Dies impliziert, dass F (x) ∈ K ρ (ˆx). Die Abbildung F ist eine Selbstabbildung in K ρ (ˆx).
Insbesondere bedeutet das, dass für x 0 ∈ K ρ (ˆx) auch alle Newton-Iterierten x k in K ρ (ˆx)
liegen. Wir setzen
so dass mit Hilfe von (2.6) folgt:
ρ k := M 2m |x k − ˆx|,
ρ k ≤ ρ 2 k−1 ≤ . . . ≤ ρ 2k
0 , |x k − ˆx| ≤ 2m M ρ2k 0 .
Für
ρ 0 = M 2m |x 0 − ˆx| ≤ M 2m ρ < 1
konvergieren die Iterierten x k → ˆx für k → ∞. Desweiteren haben wir die a priori Abschätzung
gezeigt. Es bleibt die a posteriori Fehlerabschätzung zu beweisen. Hierzu nutzen
wir die Taylor-Formel (2.4) und setzen dort y = x k , x = x k−1 . Dann
und
f(x k ) = f(x k−1 ) + (x k − x k−1 )f ′ (x k−1 ) +R(x k ; x k−1 )
} {{ }
=0
|x k − ˆx| ≤ 1 m |f(x k) − f(ˆx)| ≤ M 2m |x k − x k−1 | 2 ,
wobei wir f(ˆx) = 0 ausgenutzt haben. Damit haben wir alles gezeigt.
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