Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
Die Zerlegung einer regulären Matrix A ∈ R n×n in die beiden Dreiecksmatrizen L und R
basiert auf der Elimination mit Frobeniusmatrizen, d.h. R = F A, mit L := F −1 . Es gilt:
cond(R) = cond(F A) ≤ cond(F ) cond(A) = ‖F ‖ ‖L‖ cond(A).
Bei entsprechender Pivotisierung gilt für die Einträge der Matrizen F sowie L |f ij | ≤ 1
und |l ij | ≤ 1, siehe Satz 4.28. Dennoch können die Normen von L und F im Allgemeinen
nicht günstiger als ‖F ‖ ∞ ≤ n und ‖L‖ ∞ ≤ n abgeschätzt werden. Es gilt dann:
cond ∞ (R) ≤ n 2 cond ∞ (A).
Die Matrix R, welche zur Rückwärtselimination gelöst werden muss, hat eine unter Umständen
weit schlechtere Konditionierung als die Matrix A selbst (welche auch schon sehr
schlecht konditioniert sein kann). Wir suchen im Folgenden einen Zerlegungsprozess in
eine Dreiecksmatrix, welche numerisch stabil ist, indem die Zerlegung nur mit Hilfe von
orthogonalen Matrizen Q ∈ R n×n durchgeführt wird, für welche cond 2 (Q) = 1 gilt:
Definition 4.48 (Orthogonale Matrix). Eine Matrix Q ∈ R n×n heißt orthogonal, falls
ihre Zeilen und Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis des R n bilden.
Es gilt:
Satz 4.49 (Orthogonale Matrix). Es sei Q ∈ R n×n eine orthogonale Matrix. Dann ist Q
regulär und es gilt:
Q −1 = Q T , Q T Q = I, ‖Q‖ 2 = 1, cond 2 (Q) = I.
Es gilt det(Q) = 1 oder det(Q) = −1. Für zwei orthogonale Matrizen Q 1 , Q 2 ∈ R n×n ist
auch das Produkt Q 1 Q 2 eine orthogonale Matrix. Für eine beliebige Matrix A ∈ R n×n gilt
‖QA‖ 2 = ‖A‖ 2 . Für beliebige Vektoren x, y ∈ R n gilt:
‖Qx‖ 2 = ‖x‖ 2 , (Qx, Qy) 2 = (x, y) 2 .
Beweis: Wir beweisen hier nur die im Kontext der numerischen Stabilität wesentlich
Eigenschaft, dass die Multiplikation mit orthogonalen Matrizen die Kondition einer Matrix
(d.h. die 2-Norm) nicht verändert, die weiteren Teile des Beweises belassen wir als Übung.
Es gilt:
‖QAx‖ 2 2 = (QAx, QAx) 2 = (Q T QAx, Ax) 2 = (Ax, Ax) 2 = ‖Ax‖ 2 2.
Wir definieren:
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