Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2.4 Das Newton-Verfahren in 1D
Beispiel 2.16. Falls der Startpunkt x 0 im Einzugsbereich des quadratischen Konvergenz
liegt, dann konvergiert das Newton-Verfahren sehr schnell gegen die gesuchte Nullstelle.
Es sei z.B. q ≤ 1 2
, dann gilt nach nur 10 Iterationsschritten
|x 10 − ˆx| ≤ 2m M q210 ∼ 2m M 10−300 .
Diese Toleranz ist jenseits jeglicher Rechengenauigkeit, allerdings vergleiche man dieses
Ergebnis mit der a priori berechneten erwarteten Toleranz der Intervallschachtelung!
Beispiel 2.17 (Wurzelberechnung). Die n-te Wurzel einer Zahl a > 0 ist die Nullstelle
der Funktion f(x) = x n − a. Das Newton-Verfahren zur Berechnung von ˆx = n√ a > 0
lautet (mit f ′ (x) = nx n−1 ):
x k+1 = x k − xn k − a
nx n−1
k
bzw. als Defektkorrektur-Iteration:
Folgende Spezialfälle leiten sich daraus ab:
= 1 {
(n − 1)x k + a
}
n
x n−1 ,
k
nx n−1
k
δx = x n k − a,
x k+1 = x k − δx.
x k+1 = 1 {x k + a }
, (Quadratwurzel),
2 x
{ k
}
x k+1 = 1 3
2x k + a x 2 k
, (Kubikwurzel),
x k+1 = (2 − ax k )x k , n = −1,
(Kehrwert).
Da stets f ′′ (ˆx) = n(n − 1)ˆx n−2 ≠ 0, erhalten wir die Konvergenzordnung p = 2. Die
Fehlerkonstante beträgt
C =
f ′′ (ˆx)
∣2f ′ (ˆx) ∣ = 1
2 √ 2 .
Aufgrund von Satz 2.10 konvergiert x k → ˆx(k → ∞), falls x 0 nahe genug bei ˆx gewählt
wird. Bei diesem Beispiel ist die Konvergenz allerdings für alle x 0 > 0 gesichert, da die
Folge (x k ) k∈N monoton fällt und notwendig gegen ˆx = n√ a konvergiert.
Bemerkung 2.18. Mit dem in dem vorangegangen Beispiel wird auf vielen Rechnern
die Wurzel
n √ a berechnet. Desweiteren ermöglichte die Darstellung zur Berechnung des
Kehrwertes, erstmals die Berechnung ohne Ausnutzung der Division sondern lediglich unter
Zuhilfenahme von Multiplikationen und Subtraktionen.
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