Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Beweis: Es gilt für i = 1, . . . , n die Beziehung Aw i = λ i (A)w i , oder in Matrixschreibweise
AW = W diag(λ i (A)), also
W −1 AW = diag(λ i (A)).
Wir betrachten nun einen Eigenwert ˜λ = λ(Ã). Falls ˜λ auch Eigenwert von A ist, so gilt
die Behauptung. Also sei ˜λ nun kein Eigenwert von A. Dann folgt:
‖(˜λI − A) −1 ‖ 2 = ‖W −1 [˜λI − diag(˜λ i (A))] −1 W ‖ 2 ≤ cond 2 (W )‖[˜λI − diag(λ i (A))] −1 ‖ 2 .
Für die (symmetrische) Diagonalmatrix ˜λI − diag(λ i (A)) gilt
‖[˜λI − diag(λ i (A))] −1 ‖ 2 = max
i=1,...,n |˜λ − λ i (A)| −1 .
Mit Hilfsatz 4.72 folgt das gewünschte Ergebnis:
1 ≤ ‖[˜λI − A) −1 δA‖ 2 ≤ ‖[˜λI − A) −1 ‖ ‖δA‖ 2 ≤ cond 2 (W ) max
i=1,...,n |˜λ − λ i (A)| −1
2 ‖δA‖ 2 .
Die Konditionierung des Eigenwertproblems einer Matrix A hängt von der Konditionszahl
der Matrix der Eigenvektoren ab. Für symmetrische (hermitesche) Matrizen existiert eine
Orthonormalbasis von Eigenvektoren mit cond 2 (W ) = 1. Für solche Matrizen ist das
Eigenwertproblem gut konditioniert. Für allgemeine Matrizen kann das Eigenwertproblem
beliebig schlecht konditioniert sein.
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4.6.2 Direkte Methode zur Eigenwertberechnung
Die Eigenwerte einer Matrix A können prinzipiell als Nullstellen des charakteristischen
Polynoms χ A (z) = det(zI − A) berechnet werden. Die Berechnung der Nullstellen kann
zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren geschehen, Startwerte können mit Hilfe der
Gerschgorin-Kreise bestimmt werden.
In Kapitel 2 haben die Berechnung von Nullstellen eines Polynoms jedoch als ein sehr
schlecht konditioniertes Problem kennengelernt. Wir betrachten hierzu ein Beispiel.
Beispiel 4.76 (Direkte Berechnung von Eigenwerten). Es sei A ∈ R 5×5 eine Matrix mit
den Eigenwerten λ i = 1, i = 1, . . . , 5. Dann gilt:
5∏
χ A (z) = (z − i) = z 5 − 15z 4 + 85x 3 − 225x 2 + 274z − 120.
i=1
Der Koeffizient −55 vor z 9 sei mit einem relativen Fehler von 0.1% gestört:
˜χ A (z) = z 5 − 0.999 · 15z 4 + 85x 3 − 225x 2 + 274z − 120.
Dieses gestörte Polynom hat die Nullstellen (d.h. Eigenwerte):
λ 1 ≈ 0.999, λ 2 ≈ 2.05, λ 3 ≈ 2.76, λ 4/5 ≈ 4.59 ± 0.430i.
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