Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung
Da span{q 1 , . . . , q j } = span{a 1 , . . . , a j } folgt auch (q i , a j ) = 0 für j < i.
Mit Hilfe des Gram-Schmidt Verfahrens lässt sich die QR-Zerlegung einer Matrix A ∈
R n×n unmittelbar konstruieren:
Satz 4.52 (QR-Zerlegung). Es sei A ∈ R n×n eine reguläre Matrix. Dann existiert eine
QR-Zerlegung A = QR in eine orthogonale Matrix Q ∈ R n×n und eine rechte obere
Dreiecksmatrix R ∈ R n×n .
Beweis: Es seien A = (a 1 , . . . , a n ) die Spaltenvektoren der Matrix A. Da A regulär ist,
sind die Vektoren a i linear unabhängig und bilden eine Basis des R n . Es sei {q 1 , . . . , q n }
die durch das Gram-Schmidt Verfahren aus {a 1 , . . . , a n } konstruierte Orthonormalbasis.
Dann ist durch Q = (q 1 , . . . , q n ) ∈ R n×n eine orthogonale Matrix gegeben. Die Matrix
R := Q T A ist regulär und aufgrund von Satz 4.51 gilt für ihre Einträge:
r ij = (q i , a j ) = 0 ∀j < i.
Das heißt: R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix.
Die QR-Zerlegung einer Matrix kann ohne einer weiteren Normierungsbedingung nicht eindeutig
sein. Angenommen, wir modifizieren den Normierungsschritt (ii) im Gram-Schmidt
Verfahren Satz 4.51) zu:
q ′ i := − ˜q i
‖˜q i ‖ .
Dann wäre das resultierende System {q 1 , . . . , q n } wieder orthonormal und mit Q ′ R ′ = QR
wäre eine zweite (echt verschiedene) QR-Zerlegung gegeben. Wir können das Vorzeichen
von q i in jedem Schritt so wählen, dass r ii = (q i , a i ) > 0, dass also R nur positive Diagonalelemente
besitzt. Dann gilt:
Satz 4.53 (Eindeutigkeit der QR-Zerlegung). Die QR-Zerlegung A = QR einer regulären
Matrix A ∈ R n×n mit r ii > 0 ist eindeutig.
Beweis: Es seien A = Q 1 R 1 = Q 2 R 2 zwei QR-Zerlegungen von A. Dann gilt:
Q T 2 Q 1 = R 2 R −1
1 , QT 1 Q 2 = R 1 R −1
2 .
Die Produkte R 2 R1 −1 sowie R 1 R2 −1 sind rechte obere Dreiecksmatrizen. Weiter gilt Q :=
Q T 2 Q 1 = (Q T 1 Q 2) T = Q T , d.h. Q ist eine orthogonale Matrix mit Q −1 = Q T . Wegen
Q −1 = Q T und Q = R 2 R1 −1 muss Q eine Diagonalmatrix sein. Aus der Beziehung
folgt für den j-ten Einheitsvektor e j :
QR 1 = Q T 2 Q 1 R 1 = Q T 2 A = R 2
QR 1 e j = q jj r 1 jj = r 2 jj > 0,
also q jj > 0 und wegen der Orthogonalität Q = I. D.h.:
R 1 = R 2 ⇒ Q 1 = AR −1
1 = AR −1
2 = Q 2 .
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