Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3 Interpolation und Approximation
Beispiel 3.10 (Neville-Schema). Wir betrachten die Stützstellenpaare (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27),
welche von der Funktion f(x) = x 3 abgegriffen sind. Wir führen das Neville-Schema rekursiv
aus:
p 00 = 0 p 11 = 1 p 22 = 8 p 33 = 27
p 01 = 0.5 p 12 = −2.5 p 23 = −20.5
p 02 = −0.25 p 13 = 2
p 03 = 0.125
Die finale Approximation p 03 = 0.125 = 0.5 3 ist exakt. Dies ist zu erwarten, da f ∈ P 3 .
Als Stichprobe betrachten wir die sehr schlechte Approximation p 23 , welche sich durch das
linearen Interpolationspolynom p 2,3 (x) durch die Stützstellen (2, 8) und (3, 27), also durch
ergibt. Es gilt p 2,3 (0.5) = −20.5.
p 2,3 (x) = 8 + 27 − 8 (x − 2) = 19x − 30
3 − 2
3.1.3 Interpolation von Funktionen und Fehlerabschätzungen
In diesem Abschnitt diskutieren wir die Interpolation von Funktionen. Die Punkte sind nun
nicht mehr durch einen Datensatz gegeben, sondern durch Auswertung einer gegebenen
Funktion f auf [a, b]:
y k = f(x k ), x k ∈ [a, b], k = 0, . . . , n.
Die Durchführbarkeit, also Existenz und Eindeutigkeit eines Interpolationspolynoms wurde
bereits in den vorangehenden Abschnitten beantwortet. Bei der Interpolation von Funktionen
stellt sich hier die Frage wie gut das Interpolationspolynom p ∈ P n die Funktion f
auf [a, b] approximiert.
Satz 3.11 (Interpolationsfehler mit differenziellem Restglied). Es sei f ∈ C n+1 [a, b] und
p ∈ P n das Interpolationspolynom zu f in den n + 1 paarweise verschiedenen Stützstellen
x 0 , . . . , x n . Dann gibt es zu jedem x ∈ [a, b] ein ξ ∈ (a, b), so dass
Insbesondere gilt
f(x) − p(x) = f n+1 (ξ)
(n + 1)!
|f(x) − p(x)| ≤ max ξ∈(a,b) |f n+1 (ξ)|
(n + 1)!
n∏
(x − x j ). (3.4)
j=0
n∏
|x − x j |. (3.5)
j=0
Beweis: Falls x mit einer Stützstelle zusammenfällt, d.h. x = x k für ein k ∈ {0, . . . , n},
dann verschwindet der Fehler und wir sind fertig. Es sei daher x ≠ x k für alle k = 0, 1, . . . , n
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