Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4.1 Grundlagen der linearen Algebra
Beweis: (i) Es gilt:
‖A‖ 2 ‖Ax‖ 2 2
2 = sup
x≠0 ‖x‖ 2 2
(Ax, Ax) (A T Ax, x)
= sup
x≠0 ‖x‖ 2 = sup
2 x≠0 ‖x‖ 2 2
Die Matrix A T A ist symmetrisch und hat als solche nur reelle Eigenwerte. Sie besitzt eine
Orthonormalbasis ω i ∈ R n von Eigenvektoren mit Eigenwerten λ i ≥ 0. Alle Eigenwerte λ i
sind größer gleich Null, denn:
λ i = λ i (ω i , ω i ) = (A T Aω i , ω i ) = (Aω i , Aω i ) = ‖Aω i ‖ 2 ≥ 0.
Es sei x ∈ R n beliebig mit Basisdarstellung x = ∑ i α iω i . Es gilt dann wegen (ω i , ω j ) 2 = δ ij
die Beziehung ‖x‖ 2 2 = ∑ i α2 i sowie mit dem Koeffizientenvektor α ∈ Rn :
‖A‖ 2 ( ∑ i
2 = sup
α iA T Aω i , ∑ i α iω i )
∑
α≠0
= sup
α≠0
∑
i λ iα 2 i
∑
i α2 i
i α2 i
≤ max
i
λ i .
( ∑ i
= sup
α iλ i ω i , ∑ i α iω i )
∑
α≠0
i α2 i
Es sei nun umgekehrt durch λ k der größte Eigenwert gegeben. Dann gilt für α i = δ ki :
0 ≤ max λ i = λ k = ∑ i
i
λ i α 2 i ≤ ‖A‖ 2 2.
(ii) Wir zeigen das Ergebnis exemplarisch für die Maximumsnorm:
⎛
⎞
∑ m
‖Ax‖ ∞ =
a ij x j ⎠ .
sup
‖x‖ ∞=1
⎝max
i
Jede Summe nimmt ihr Maximum an, falls |x j | = 1 und falls das Vorzeichen x j so gewählt
wird, dass a ij x j ≥ 0 für alle j = 1, . . . , m. Dann gilt:
‖Ax‖ ∞ = max
i
m ∑
j=1
j=1
|a ij |.
Als Nebenresultat erhalten wir, dass jeder Eigenwert betragsmäßig durch die Spektralnorm
der Matrix A beschränkt ist. Es gilt sogar mit beliebiger Matrixnorm und verträglicher
Vektornorm für einen Eigenwert λ mit zugehörigem Eigenvektor w ∈ R n von A:
|λ| =
|λ| ‖w‖
‖w‖
= ‖Aw‖
‖w‖
‖A‖ ‖w‖
≤ = ‖A‖.
‖w‖
Eine einfache Schranke für den betragsmäßig größten Eigenwert erhält man also durch
Analyse beliebiger (verträglicher) Matrixnormen.
Aus Satz 4.14 folgern wir weiter, dass für symmetrische Matrizen die ‖ · ‖ 2 -Norm mit dem
Spektralradius der Matrix selbst übereinstimmt, daher der Name Spektralnorm.
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