Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

4 Numerische Lineare Algebra
Es gilt |λ j /λ n | < 1 für j < n, daher folgt:
n∑
A i x (0) = α j λ i jw j = α n λ i n (w n + o(1)) ,
j=1
Hieraus folgt durch Normierung:
A i x (0) (
‖A i x (0) ‖ = αn λ i )
n wn
|α n λ i n| ‖w n ‖ + o(1) → span{w n}
(i → ∞).
Die Iteration läuft in den Raum, der durch w n aufgespannt wird. Für einen Vektor w, der
Vielfaches eines Eigenvektors ist w = sw n gilt:
Aw = sAw n = sλ n w n = λ n w.
Diese vektorwertige Gleichung gilt in jeder Komponente, kann daher nach dem Eigenwert
aufgelöst werden:
Wir fassen zusammen:
λ n = [Aw] k
w k
.
Satz 4.77 (Potenzmethode nach von Mises). Es sei A ∈ R n×n eine Matrix n linear unabhängigen
Eigenvektoren {w 1 , . . . , w n }. Der betragsmäßig größte Eigenwert sei separiert
|λ n | > |λ n−1 | ≥ · · · ≥ |λ 1 |. Es sei x (0) ∈ R n ein Startwert mit nichttrivialer Komponente
in Bezug auf w n . Für einen beliebigen Index k ∈ {1, . . . , n} konvergiert die Iteration
˜x (i) = Ax (i−1) , x (i) := ˜x(i)
‖˜x (i) ‖ , λ(i) := ˜x(i) k
x (i−1)
k
gegen den betragsmäßig größten Eigenwert:
( ∣∣∣∣ ∣
|λ (i+1) λ n−1 ∣∣∣ i )
− λ n | = O
, i → ∞.
λ n
Beweis: Wir knüpfen an der Vorbereitung des Beweises (4.10) an. Es gilt:
λ (i) =
˜x(i) k
x (i−1)
k
= [Ax(i−1) ] k
x (i−1)
k
= [Ai x (0) ] k
[A i−1 x (0) ] k
.
Weiter, mit (4.11) gilt:
(
a n λ i
λ (i) n [w n ] k + ∑ )
n−1 α j λ i j
j=1 α n
[w
λ i j ] k
n
= (
a n λ i−1 n [w n ] k + ∑ n−1 α j λ i−1
j
j=1 α n λ i−1
n
( ) ∣ ∣
[w n ] k +
αn−1 ∣∣ λ
α n
+ o(1) n−1 ∣∣ i (
λ [wn n
] k
= λ n ( ) ∣ ∣
[w n ] k +
αn−1 ∣∣ λ
α n
+ o(1) n−1 ∣∣ i−1
= λ n
λ [wn n
] k
[w n ] k + ∑ n−1
j=1
) = λ n
[w j ] k [w n ] k + ∑ n−1
1 + O
,
α j λ i j
α n
[w
λ i j ] k
n
j=1 α λ i−1
k j
α n λn
i−1
[w j ] k
( ∣∣∣∣
λ n−1
λ n
∣ ∣∣∣ i−1 )) .
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