Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

2 Nullstellenbestimmung
2.4.2 Das Newton-Verfahren als Defekt-Korrektur
In der Praxis wird das Newton-Verfahren oft als Defektkorrektur-Iteration ausgeführt. Wir
definieren:
Definition 2.19 (Defekt). Es sei ˜x ∈ R eine Approximation der Lösung von f(x) = y.
Mit
d(˜x) = y − f(˜x),
wird der Defekt bezeichnet. Der Defekt wird auch als das Residuum bezeichnet.
Es sei im Folgenden y = 0 (falls nicht transformieren wir die Gleichung entsprechend
um), so dass wir wie üblich ein Nullstellenproblem lösen. Für die Approximation x k ist
durch d k := 0 − f(x k ) der Defekt der k-ten Iterierten gegeben und wir schreiben das
Newton-Verfahren in der Form:
Definition 2.20 (Newton-Verfahren als Defektkorrektur).
f ′ (x k )δx = d k , d k := −f(x k ),
x k+1 = x k + δx, k = 0, 1, 2, . . . .
Die Iteration wird bei Erfüllung des Abbruchkriteriums 2.11 beendet.
Diese Art der Berechnung kann bei vielen Fixpunktiterationsverfahren angewendet werden
(nicht bei allen!) und wird uns wieder bei der iterativen Lösung von linearen Gleichungssystemen
begegnen. Insbesondere hat das Defektkorrektur-Verfahren den Vorteil, dass die
Ableitung nicht mehr im Nenner steht - oder anders gesprochen, wir müssen nicht mehr
die Inverse der ersten Ableitung explizit angegeben. Für 1D Funktionen ist die explizite
Angabe kein Problem. Wie verhält es sich aber bei höherdimensionalen Funktionen? (wir
verweisen dazu auf Kapitel 5). Der Defekt d(˜x) = y − f(˜x) einer Gleichung ist eng mit
dem Fehler ˜x − ˆx verbunden. Es gilt der folgende allgemeine Satz:
Satz 2.21 (Defekt-Fehler Abschätzung). Es sei f ∈ C 1 [a, b] eine differenzierbare Funktion
und ˆx ∈ (a, b) die Lösung von f(x) = y. Für die Approximation ˜x ∈ (a, b) gilt die
Fehlerabschätzung
mit m = min [a,b] |f ′ (x)|.
|˜x − ˆx| ≤ 1 m |d(˜x)|,
Beweis: Es gilt mit einem ξ ∈ [a, b]:
d(˜x) = y − f(˜x) =
Hieraus folgt sofort die Behauptung.
f(ˆx) − f(˜x)
(ˆx − ˜x) = f ′ (ξ)(ˆx − ˜x).
ˆx − ˜x
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