Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.6 Approximationstheorie
Alle Eigenschaften der kontinuierlichen Gauß-Approximation übertragen sich und wir können
gleich den Existenzsatz formulieren:
Satz 3.82 (Diskrete Gauß-Approximation). Es seien durch (x i , y i ) für i = 1, . . . , m diskrete
Datenwerte gegeben. Weiter sei S ein endlich dimensionaler Funktionenraum mit
Basis {φ 1 , . . . , φ n }. Die diskrete Gauß-Approximation p ∈ S
ist eindeutig bestimmt.
( m
) 1
∑
|p − y| 2 := |p(x i ) − y i | 2 2
i=1
= min
φ∈S |φ − y| 2,
Beweis: Über die Basisdarstellung ist S äquivalent zum euklidischen Raum R n . Eindeutigkeit
und Existenz folgen nun in R n wie im Beweis zu Satz 3.79.
□
Die Konstruktion der diskreten Gauß-Approximation folgt wieder über die Basisdarstellung
n∑
p(x) = α i φ i (x)
i=1
aus der beschreibenden Orthogonalitätsbeziehung:
m∑
(p − y, φ k ) 2 = (p(x i ) − y i )φ k (x i ) = 0,
i=1
k = 1, . . . , n
Setzen wir für p die Basisdarstellung ein, so erhalten wir das Gleichungssystem:
n∑ ∑ m m∑
α j φ j (x i )φ k (x i ) = y i φ k (x i ), k = 1, . . . , n.
j=1 i=1
i=1
} {{ } } {{ }
=(φ j ,φ k ) 2 =(y,φ k ) 2
Der gesuchte Koeffizientenvektor α = (α k ) n k=1 ist gegeben als Lösung des Gleichungssystems:
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
(φ 0 , φ 0 ) 2 (φ 0 , φ 1 ) 2 · · · (φ 0 , φ n ) 2 α . 0 (y, φ 0 ) 2
(φ 1 , φ 0 ) .. 2 .
α 1
⎜
.
⎝ .
.. ⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ ⎝ .
= (y, φ 1 ) 2
⎜ ⎟
⎠ ⎝ . ⎠
(φ n , φ 0 ) 2 · · · · · · (φ n , φ n ) 2
α n (y, φ n ) 2 .
Aus der allgemeinen Darstellung kann eine spezielle und häufig genutzte Approximation
abgeleitet werden: die Gauß’sche Ausgleichsrechnung:
Beispiel 3.83 (Lineare Ausgleichsrechnung). Wir suchen die lineare Approximation p(x) ∈
P 1
p(x) = α 0 + α 1 x,
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