Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

6 Anwendungsbeispiel: dünner Balken
Zur Approximation der Ableitung in einem Punkt x i ersetzen wir die Funktionswerte y(x)
durch die Koeffizienten der Lagrange-Darstellung:
(y h ) ′ (x i ) ≈ y i+1 − y i−1
.
2h
Bei der zweiten Ableitung gehen wir entsprechend vor und approximieren mit dem zentralen
Differenzenquotienten zweiter Ordnung:
(y h ) ′′ (x i ) ≈ −2y i + y i+1 + y i−1
h 2 .
Wir setzen beide Approximationen in die Differentialgleichung (6.3) ein und erhalten das
nichtlineare Gleichungssystem:
(
−2y i + y i−1 + y i+1
h 2 − µf(x i ) 1 +
( yi+1 − y i−1
2h
) 2
) 3
2
y 0 = 0,
= 0, i = 1, . . . , n − 1,
y n = 0.
(6.9)
Dieses Gleichungssystem können wir wieder kurz mit einer nichtlinearen Funktion F h :
R n+1 → R n+1 schreiben.
6.2.3 Vergleich und Diskussion der beiden Modelle
Beide Diskretisierungsansätze führen jeweils auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit
n + 1 Unbekannten und n + 1 Gleichungen. Der Lösungsvektor y ∈ R n+1 steht jeweils für
Approximationen an die Lösung in den Stützstellen y i ≈ y(x i ). Das zweite Modell F h (·)
ist von zweiter Ordnung in der Gitterweite h. Dabei geht die Ordnung gleich zweimal ein:
zunächst kann eine stückweise lineare Funktion höchstens quadratisch in h → 0 gegen y(x)
konvergieren. Auf der anderen Seite beruht die Diskretisierung auf Differenzenquotienten
zweiter Ordnung in h. Das Modell F n ist zunächst eine Approximation von Grad n. Falls
die Lösung y(x) hinreichend regulär ist, so ist durch (6.7) eine weit bessere, nämlich
exponentielle Konvergenz in n zu erwarten.
Das erste Modell hat jedoch zwei wesentliche Nachteile: die Koeffizienten des nichtlinearen
Gleichungssystems (6.8) können nicht direkt angegeben werden, da die Faktoren
a (k) (i, j, n) jeweils (numerisch) berechnet werden müssen. Zweitens kommen in jeder Gleichung
sämtliche Koeffizienten y 0 , . . . , y n vor. D.h., das Gleichungssystem F n (y) = 0 ist
global gekoppelt: jeder Koeffizient y i steht in direkter Kopplung mit jedem anderen Koeffizienten
y j . Bei Modell F h (y) = 0 koppeln dagegen nur direkt benachbarte Koeffizienten.
Wir kommen auf diesen wesentlichen Punkt bei der Diskussion der Lösungsverfahren zurück.
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