Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

3.6 Approximationstheorie
gezeigt. Die Approximation bezüglich der Maximumsnorm ist für die praktische Anwendung
von großer Bedeutung: denn eine Approximation, die den Fehler gleichmäßig auf
dem gesamten Intervall [a, b] unter Kontrolle hält, schließt die typischen Oszillationen der
Lagrange-Interpolation an den Intervallenden (siehe Beispiel 3.15) systematisch aus. Es
zeigt sich allerdings, das gerade dieser für die Anwendung wichtige Approximationsbegriff
mathematisch schwer zu greifen ist.
3.6.1 Gauss-Approximation: Beste Approximation in der L 2 -Norm
Zunächst betrachten wir die beste Approximation einer Funktion f : [a, b] → R mit
Polynomen p ∈ P bezüglich der L 2 -Norm:
‖f − p‖ L 2 ([a,b]) = min
φ∈P ‖f − φ‖ L 2 ([a,b]).
Die L 2 -Norm kann mittels ‖f‖ L 2 = (f, f) 1 2 über das L 2 -Skalarprodukt definiert werden.
Vektorräume mit Skalarprodukt heißen Prähilbertraum. Speziell in reellen Vektorräumen
spricht man von euklidischen Räumen, im komplexen auch von unitären Räumen. Das
Skalarprodukt dient zur Beschreibung von Orthogonalitätsbeziehungen. Für die Approximation
bezüglich der L 2 -Norm gilt die folgende Charakterisierung:
Satz 3.78 (Approximation und Orthogonalität). Es sei f ∈ C[a, b] und S ⊂ C[a, b] ein
endlich dimensionaler Unterraum. Auf S sei durch (·, ·) ein Skalarprodukt und durch ‖ · ‖
die induzierte Norm gegeben. Dann ist p ∈ S beste Approximation zu f ∈ C[a, b]
‖f − p‖ = min ‖f − φ‖,
φ∈S
genau dann, wenn der Fehler f − p orthogonal auf dem Raum S steht:
(f − p, φ) = 0 ∀φ ∈ S.
Beweis: Es sei p ∈ S eine beste Approximation Dann besitzt die quadratische Funktion
F φ (t) := ‖f − p − tφ‖ 2 ,
t ∈ R
für jedes fest gewählte φ ∈ S bei t = 0 ein Minimum. Also gilt die für Minima differenzierbarer
Funktionen notwendige Bedingung:
0 = F ′ (0) = ∂ ∂t ‖f − p − tφ‖2∣ ∣ t=0
= −(f − p − tφ, φ) − (φ, f − p − tφ) ∣ ∣ t=0
= −2(f − p, φ) ∀φ ∈ S.
Geometrisch kann man dies so ausdrücken, dass der Fehler f − p senkrecht auf dem approximierenden
Raum S steht im Sinne des L 2 -Skalarprodukts.
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