Einführung in die Numerische Mathematik - Lehrstuhl Numerische ...

1 Einleitung
In der numerischen Mathematik werden Verfahren zum konkreten “Lösen” von mathematischen
Problemen entworfen und analysiert. Dabei ist die numerische Mathematik eng
mit anderen Zweigen der Mathematik verbunden und kann auch nicht von dem Anwendungsgebiet,
also z.B. der Chemie, Physik oder Medizin getrennt werden. Der übliche Weg
von Problem zur Lösung ist lang:
1. Mathematische Modellierung Das zugrundeliegende Problem wird mathematisch erfasst,
es werden Gleichungen entwickelt, die das Problem beschreiben. Ergebnis des
mathematischen Modells kann ein lineares Gleichungssystem sein, aber z.B. auch
eine Differentialgleichung.
2. Analyse des Modells Das mathematische Modell muss auf seine Eigenschaften untersucht
werden: existiert eine Lösung, ist diese Lösung eindeutig? Hier kommen alle
Teilgebiete der Mathematik zum Einsatz, von der Linearen Algebra über Statistik,
Gruppentheorie zur Theorie von partiellen Differentialgleichungen.
3. Numerische Verfahrensentwicklung Ein numerisches Lösungs- oder Approximationsverfahren
wird für das Modell entwickelt. Viele mathematische Modelle (etwa Differentialgleichungen)
können nicht exakt gelöst werden und oft kann eine Lösung,
auch wenn sie existiert, nicht angegeben werden. Die Lösung einer Differentialgleichung
ist eine Funktion f : [a, b] → R und zur genauen Beschreibung müsste der
Funktionswert an den unendlich-vielen Punkten des Intervalls [a, b] bestimmt werden.
Jede durchführbare Verfahrensvorschrift kann allerdings nur aus endlich vielen
Schritten bestehen. Das Problem muss zunächst diskretisiert werden, also auf ein
endlich-dimensionales reduziert werden. Die Numerische Mathematik befasst sich
mit der Analyse der numerischen Verfahren, also mit Untersuchung von Konvergenz
und Approximationsfehlern.
4. Implementierung Das numerische Verfahren muss auf einem Computer implementiert
werden. Zur effizienten Implementierung müssen spezielle Algorithmen entwickelt
werden. Um moderne Computer-Architekturen nutzen zu können muss das
Verfahren z.B. für die Verwendung von Parallelrechnern modifiziert werden.
5. Auswertung Die numerischen Ergebnisse (etwa das Simulationsergebnis einer Flugzeugumströmung)
müssen ausgewertet werden. Dies beinhaltet eine grafische Darstellung
der Ergebnisse sowie in technischen Anwendungen z.B. die Auswertung von
Kräften die nur indirekt gegeben sind. Anhand von Plausibilitätsanalysen muss die
Qualität der Ergebnisse beurteilt werden. Unter Umständen führt diese Überprüfung
zu neuen mathematischen Modellen oder modifizierten numerischen Verfahren.
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